[論文レビュー] Toroidal Embeddings of Right Groups

Kolja Knauer, Ulrich Knauer|ArXiv.org|Jul 30, 2009

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、群因子に対して最小生成系を備えた右群のケイリー図がトーラス上に埋め込めるが平面図ではできない条件を特徴づけている。このような埋め込みが存在するのは、群成分が平面的であり、かつ高 genus を引き起こす構成を避ける生成系である場合に限られ、グラフの genus 理論と右零半群との直積および辞書的積を用いたケイリー図の構成を用いて証明している。

ABSTRACT

In this note we study embeddings of Cayley graphs of right groups on surfaces. We characterize those right groups which have a toroidal but no planar Cayley graph, such that the generating system of the right group has a minimal generating system of the group as a factor.

研究の動機と目的

• ケイリー図がトーラス的だが平面的でない右群を分類すること。
• 右群のケイリー図が平面では埋め込めないがトーラス上に埋め込める条件を特定すること。
• 群の生成系がケイリー図の genus を決定する役割を分析すること。
• クライフ半群に関する先行研究を、より広いクラスの右群へと拡張すること。
• 群成分の平面性と生成集合の構造に基づく特徴づけを提供すること。

提案手法

• 群 $ G $ と右零半群 $ R_r $ の直積 $ G \times R_r $ に対するケイリー図の構成を用いる。
• 積半群のグラフ構造を、構成要素のグラフの辞書的積およびクロス積と関連付けるために $ \text{Cay} $-関手を適用する。
• 埋め込まれたグラフの genus の上限を計算するためにオイラー＝ポワンカレの公式 $ n - m + f = 2 - 2g $ を用いる。
• カトゥルスキの定理およびチャーランド＝ハラリーの定理を適用し、禁止部分グラフを用いて平面性および外部平面性をテストする。
• 補題 3.5 を用いて、群のケイリー図の最小次数が 3 で 3-正則である場合、トーラス埋め込みが不可能であることを排除する。
• 例として $ \mathbb{Z}_6 \times R_2 $ と生成系 $ \{2,3\} \times R_2 $ を取り上げ、二重トーラス埋め込みにおける背理法により genus 3 を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの右群が、ケイリー図がトーラス的だが平面的でないものをもつか？
• RQ2 右群の生成系にどのような条件が課されると、そのケイリー図がトーラス上に埋め込めるか？
• RQ3 右群のケイリー図の genus は、その下位の群成分の genus とどのように関係するか？
• RQ4 群成分が平面的である場合、辞書的積構成 $ \text{Cay}(S,C)[\text{Cay}(T,D)] $ がトーラス埋め込みをもたらすか？
• RQ5 3-正則な平面的グラフと $ R_2 $ の積が、どのような条件下でトーラス的でなくなるか？

主な発見

• 群 $ G \in \{\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2 \times D_n, A_4, S_4, A_5, \mathbb{Z}_2 \times A_4, \mathbb{Z}_2 \times S_4, \mathbb{Z}_2 \times A_5, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{2n}\} $（$ n \geq 2 $）に対して、任意の生成系について右群 $ G \times R_2 $ はトーラス的ケイリー図を持たない。
• ケイリー図 $ \text{Cay}(\mathbb{Z}_6 \times R_2, \{2,3\} \times R_2) $ は genus 3 であり、二重トーラス埋め込みにおける背理法によりトーラス上に埋め込めないことが示された。
• グラフ $ \text{Cay}(\mathbb{Z}_6 \times R_2, \{2,3\} \times R_2) \cong (C_3 \Box K_2)[\overline{K}_2] $ は 6-正則で、頂点数 12、辺数 36 であり、オイラー特性および面の解析により genus 3 であることが証明された。
• $ \mathbb{Z}_2 \times D_n $ に対して、補題 3.5 の条件を避ける唯一の生成系は $ C = \{(1,g_1),(0,g_2)\} $ であり、これにより得られるケイリー図は $ C_{4n} $ に同型でトーラス的である。
• 辞書的積を $ R_2 $ でとることで、genus が 0 から 3 に増加することが、$ \mathbb{Z}_6 \times R_2 $ の例で示された。
• 3-正則な平面的ケイリー図を持つ群は、$ R_2 $ とクロス積をとると、オイラーの公式における次数および面の構造的制約により、トーラス的ケイリー図をもたらさない。