[論文レビュー] Torsion dans un produit de courbes elliptiques

Marc Hindry, Nicolas Ratazzi|ArXiv.org|Apr 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、数体拡大におけるアーベル多様体の捩れ点の成長率に関する予想を解決し、楕円曲線の積に対して、捩れ点の多項式境界における最適な指数が、部分積の次元の和の2倍をそのムーディ・テイト群の次元で割った比として与えられることを証明している。著者らは、このような積に対して γ(A) = α(A) を確立し、マッサ―の一般的境界を改善し、複素乗乗性の有無に応じた鋭い指数を与える。

ABSTRACT

Let $A$ be an abelian variety defined over a number field $K$, the number of torsion points rational over a finite extension $L$ is bounded polynomially in terms of the degree $[L:K]$. We formulate a question suggesting the optimal exponent for this bound in terms of the dimension of the Mumford-Tate groups of the abelian subvarieties of $A$; we study the behaviour under product and then give a positive answer to our question when $A$ is the product of elliptic curves.

研究の動機と目的

• 数体の有限拡大上でのアーベル多様体 A の捩れ点の数の最適な多項式成長指数 γ(A) を特定すること。
• 部分積のムーディ・テイト群の次元に基づいて定義される不変量 α(A) が、この境界における鋭い指数を与えるかどうかを調査すること。
• 楕円曲線の積の特定のケースにおいて、α(A) = γ(A) であるという予想を解決すること。
• 複素乗乗性の性質に応じた明示的で最適な指数を与えることで、マッサ―の一般的多項式境界を精緻化すること。

提案手法

• すべての K₀ の有限拡大 F に対して |A(F) tors| ≪ [F:K₀]^x を満たすような指数 x の下界を γ(A) として定義する。
• 添字の空でない部分集合 I 全体における (2∑_{i∈I} n_i dim A_i) / dim MT(∏_{i∈I} A_i) の最大値として α(A) を定義する。
• ガロア理論的手段を用いて、A[ℓ^∞] の有限部分群のサイズを、H が有限部分群のときの [K(H):K] の度数で評価する。
• 問題を ℓ-冪捩れ点におけるガロア作用の分析に還元し、ガロア像の構造を用いて捩れの成長を制御する。
• ムーディ・テイト群の理論とホッジ理論の結果を応用し、群論的不変量と捩れの算術的成長を関連付ける。
• 積構造の組み合わせ的分解を用いて、問題を各因子における振る舞いに還元し、個々の楕円曲線における既知の境界を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ムーディ・テイト群の次元に基づく不変量 α(A) は、有限拡大上での捩れ点の数の多項式境界における最適な指数であるか？
• RQ2 楕円曲線の積に対して、γ(A) = α(A) は成立するか？
• RQ3 A が複素乗乗性を有するか無いかに応じて、γ(A) の正確な値は何か？
• RQ4 ℓ-進タイト加群上のガロア表現の構造によって、積における捩れ点の成長率を制御できるか？

主な発見

• A = ∏_{i=1}^m E_i を楕円曲線の積とするとき、本論文では γ(A) = α(A) を証明し、この場合の予想を裏付ける。
• すべての E_i が非同型で複素乗乗性がなければ、α(A) = 2m / (1 + 3m) であり、これは A の次元よりも厳密に小さい。
• r 個の E_i が複素乗乗性を持ち、m−r 個が持たないとき、α(A) = 2r / (1 + r) であり、これは 2 で有界である。
• この結果は、マッサ―の一般的境界 γ(A) ≤ dim A を改善し、非-CM の積に対しては γ(A) ≤ 2/3、CM の積に対しては γ(A) ≤ 2 を得る。
• 境界は鋭い：このような積における捩れ成長に対して、α(A) よりも小さい指数は成立しない。
• 証明により、最適な指数は、部分積の全次元の2倍をそのムーディ・テイト群の次元で割った最大比によって決定されることが明らかになった。