[論文レビュー] Total variation approximation for quasi-equilibrium distributions

A. D. Barbour, P. K. Pollett|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、吸収が0で発生する出生死滅過程の、一意な準定常分布が、『再起動過程』と呼ばれるマルコフ過程の平衡分布によって、全 Variation でよく近似可能であるための条件を確立する。再起動過程とは、0で吸収された際に即座に遷移クラス $ C $ 上の確率測度 $ \mu $ から再起動する過程である。主な結果は、例えば、確率的ロジスティックモデルのような大規模な集団において、近似誤差がシステムサイズに従って幾何的に減少することを示しており、極めて小さい確率の事象に条件付けない単純で正確な計算が可能になる。

ABSTRACT

Quasi-stationary distributions, as discussed by Darroch & Seneta (1965), have been used in biology to describe the steady state behaviour of population models which, while eventually certain to become extinct, nevertheless maintain an apparent stochastic equilibrium for long periods. These distributions have some drawbacks: they need not exist, nor be unique, and their calculation can present problems. In this paper, we give biologically plausible conditions under which the quasi-stationary distribution is unique, and can be closely approximated by distributions that are simple to compute.

研究の動機と目的

• 吸収を伴う連続時間マルコフ連鎖における準定常分布の計算不能性を解消すること。
• 準定常分布の一意性および近似的な計算可能性を保証する十分条件を確立すること。
• ゼロ確率事象に条件付けない実用的な近似手法を提供すること。
• 生物学的に関連性のあるモデル、例えば確率的ロジスティックモデルおよびSIS感染症過程において、その手法の正確性を示すこと。

提案手法

• 吸収が0で発生した際に、一時的クラス $ C $ 上の分布 $ \mu $ から即座に再起動する再起動過程 $ X^\mu $ を定義する。
• 再起動過程 $ X^\mu $ の定常分布 $ \pi^\mu $ を真の準定常分布 $ m $ の近似として用いる。
• 全 Variation 界 $ \|m - \pi^\mu\|_{\text{TV}} \leq \text{const} \cdot (UT/p) $ を確立する。ここで $ U $, $ T $, $ p $, $ B $ は、 hitting 時間および遷移率から導出される。
• 出生率および死滅率にややきつい条件（例えば、$ d_j $ が増加し、$ b_j/d_j $ が減少する）が満たされれば、近似誤差が小さいことを証明する。
• 特定のモデルにこの界を適用する：確率的ロジスティックモデルおよびSIS感染症モデル。システムサイズに従って誤差が幾何的に減少することを示す。
• 期待 hitting 時間およびスケールパラメータ $ \alpha_j $ を用いたカップリングおよびカップリング時間の推定を通じて、$ T $, $ p $, $ U $, $ B $ の明示的界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間の出生死滅過程が0で吸収を伴う場合、一意な準定常分布が存在する条件は何か？
• RQ2 稀な事象に条件付けないで、再起動過程の定常分布によって、準定常分布が全 Variation で近似可能か？
• RQ3 準定常分布と再起動過程の平衡分布との間の全 Variation 距離はどの程度小さく、システムサイズにどのように依存するか？
• RQ4 遷移率および hitting 時間の観点から、近似誤差の明示的かつ計算可能な界は何か？
• RQ5 生物学的に関連性のあるモデル、例えば確率的ロジスティックモデルおよびSIS感染症過程において、この近似手法はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 大規模集団サイズ $ A $ を持つ確率的ロジスティックモデルにおいて、準定常分布と任意の再起動過程の平衡分布 $ \pi^\mu $ 間の全 Variation 距離は、$ A \to \infty $ のとき、$ A $ に対して幾何的に減少する。具体的には、$ A \to \infty $ のとき $ UT/p $ は幾何的に小さくなる。
• ロジスティックモデルでは、近似誤差は $ O(\log A / A) $ で有界であり、$ T = O(\log A) $, $ p \geq 1 - d/b $, および $ U \leq \{1 + (b-d)/(b+d)\}^{-\kappa A/2} $ であるため、指数的に小さい誤差が得られる。
• SIS感染症モデルにおいて $ \mu < \lambda $ のとき、誤差 $ UT/p $ は、集団サイズ $ N $ に対して幾何的に小さくなる。これにより、$ N $ が大きい場合には良好な近似が得られる。
• 再起動過程の写像 $ \mu \mapsto \pi^\mu $ は、提示された条件下で収縮的であり、繰り返し適用することで、一意な準定常分布 $ m = \pi^m $ に収束する。これにより、反復的計算が可能になる。
• 死滅率が増加し、出生率対死滅率比が減少するモデルでは、$ T $, $ p $, $ U $, $ B $ の界を明示的に推定でき、多項式的または幾何的誤差減少が得られる。
• この手法は、ゼロ確率事象に条件付けない実用的で代替可能な手法を提供する。従来、そのような事象に条件付けた計算が不可能であったため、準定常分布の計算はもはや困難ではない。