[論文レビュー] Total variation minimization for stable multidimensional signal recovery

Deanna Needell, Rachel Ward|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、全変動（TV）最小化を用いた多次元信号回復における理論的再構成保証を確立し、信号の最良のs項勾配近似の定数倍の誤差で再構成可能であることを示している。O(sd log(N^d))の線形測定値が十分であることが示され、2次元TV保証を任意の次元d ≥ 2に拡張した。測定数は、対数的および多項式的要因を除き近似的に最適であることが証明された。

ABSTRACT

Consider the problem of reconstructing a multidimensional signal from partial information. Without any additional assumptions, this problem is ill-posed. However, for signals such as natural images or movies, the minimal total variation estimate consistent with the measurements often produces a good approximation to the underlying signal, even if the number of measurements is far smaller than the ambient dimensionality. While reconstruction guarantees and optimal measurement designs have been established for related l1-minimization problems, the theory for total variation minimization has remained elusive until recently, when guarantees for two-dimensional images x ∈ C N 2 were established. This paper extends the recent theoretical results to signals x ∈ C N d of arbitrary dimension d ≥ 2. To be precise, we show that a multidimensional signal x ∈ C N d can be reconstructed from O(sdlog(N d )) linear measurements y = Ax using total variation minimization to within a factor of the best s-term approximation of its gradient. The reconstruction guarantees we provide are necessarily optimal up to polynomial factors in the spatial dimension d and a logarithmic factor in the signal dimension N d . The proof relies on bounds in approximation theory concerning the compressibility of wavelet expansions of bounded-variation functions.

研究の動機と目的

• 全変動最小化の理論的再構成保証を2次元から任意の次元d ≥ 2の信号に拡張すること。
• 全変動最小化を用いた多次元信号の安定的再構成に、O(sd log(N^d))の線形測定値が十分であることを確立すること。
• 再構成誤差が信号の勾配の最良のs項近似の定数倍で抑えられることを示すこと。
• 導出された境界が、信号次元および空間次元において対数的および多項式的要因を除き最適であることを証明すること。

提案手法

• 有界 Variation 関数のウェーブレット展開に対する近似理論の境界を用いて、勾配の可換性を分析する。
• C^N^d 内の多次元信号の勾配が、ウェーブレット基底においてs項でよく近似可能であることを確立する。
• 集中とエントロピーの議論を用いて、安定的再構成に必要な測定数の上限を導出する。
• 圧縮センシングおよびフレーム理論の結果を応用し、測定の複雑さと勾配のスパarsityを結びつける。
• 空間次元dと信号次元N^dを考慮に入れ、測定複雑さがsd log(N^d)に比例することを示す。
• 有界 Variation 関数のエントロピーに関する既知の境界を活用し、最適な測定レートを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全変動最小化の理論的再構成保証を2次元から任意の次元d ≥ 2の信号に拡張可能か？
• RQ2 TV最小化による多次元信号の安定的再構成に必要な最小の線形測定数は何か？
• RQ3 高次元において再構成誤差は、信号勾配の最良のs項近似とどのように関係するか？
• RQ4 導出された測定境界は、dおよびN^dにおいて対数的および多項式的要因を除き最適か？

主な発見

• 本論文は、d次元信号x ∈ C^N^dを全変動最小化により安定的に再構成するためには、O(sd log(N^d))の線形測定値が十分であることを証明した。
• 再構成誤差は、xの勾配の最良のs項近似の定数倍で抑えられる。
• 測定複雑さは、N^dにおける対数的要因およびdにおける多項式的要因を除き最適である。
• 2次元の既存の保証を任意の次元d ≥ 2に拡張し、多次元TV再構成の理論的基盤を確立した。
• ウェーブレットに基づく近似理論に依拠し、有界 Variation 関数の勾配がウェーブレット基底で可換であることを示した。
• 導出された境界は、同様の仮定のもとで、はるかに少ない測定数では同様の保証が達成できないという意味でタイトである。