[論文レビュー] TOTALLY GEODESIC SUBALGEBRAS OF NILPOTENT LIE ALGEBRAS I

Grant Cairns|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、内積を備えた可解リー代数における完全測地的部分代数を調査し、計量リー代数における測地的要素の存在について、Kaczerの定理の新たな証明を提示する。フィルフォーム可解リー代数において、その直交補空間を保存する完全測地的部分代数の次元は、元の代数のサイズの半分以下に制限され、標準的フィルフォーム代数においては余次元2の例が構成され、他のフィルフォーム型ではそのような部分代数が存在しないことが証明される。

ABSTRACT

A metric Lie algebra g is a Lie algebra equipped with an inner product. A subalgebra h of a metric Lie algebra g is said to be totally geodesic if the Lie subgroup corresponding to h is a totally geodesic submanifold relative to the left-invariant Riemannian metric defined by the inner product, on the simply connected Lie group associated to g. A nonzero element of g is called a geodesic if it spans a one-dimensional totally geodesic subalgebra. We give a new proof of Kauozer's theorem that every metric Lie algebra possesses a geodesic. For nilpotent Lie algebras, we give several results on the possible dimensions of totally geodesic subalgebras. We give an example of a codimension two totally geodesic subalgebra of the standard filiform nilpotent Lie algebra, equipped with a certain inner product. We prove that no other filiform Lie algebra possesses such a subalgebra. We show that in filiform nilpotent Lie algebras, totally geodesic subalgebras that leave invariant their orthogonal complements have dimension at most half the dimension of the algebra. We give an example of a 6-dimensional filiform nilpotent Lie algebra that has no totally geodesic subalgebra of dimension > 2, for any choice of inner product.

研究の動機と目的

• Kaczerの定理の新たな証明を通じて、すべての計量リー代数に少なくとも1つの測地的要素が存在することを確立すること。
• 可解リー代数における完全測地的部分代数の可能な次元を分類すること。
• 特定の内積の下で、フィルフォーム可解リー代数が余次元2の完全測地的部分代数を有するかどうかを同定すること。
• フィルフォームリー代数において、完全測地的部分代数がその直交補空間を保存する場合の構造的制約を調査すること。
• 可解リー代数における完全測地的部分代数の次元境界が鋭いかどうかを示す例の構成

提案手法

• 単純接続されたリー群上の左不変リーマン計量を用いて、部分代数に対応する完全測地的部分多様体を定義すること。
• リー代数への内積構造の適用により、1次元の完全測地的部分代数として測地的要素を定義すること。
• 標準的フィルフォーム可解リー代数に特定の内積を構成し、余次元2の完全測地的部分代数を実現すること。
• 背理法と構造的解析を用いて、他のフィルフォームリー代数がそのような部分代数を有しないことを証明すること。
• 直交補空間の不変性を用いて、フィルフォームリー代数における完全測地的部分代数の次元境界を導出すること。
• 6次元のフィルフォーム可解リー代数の分析により、任意の内積のもとで次元が2より大きい完全測地的部分代数が存在しないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての計量リー代数は少なくとも1つの測地的要素を含むか。そして、その存在は新たな方法で証明可能か。
• RQ2 可解リー代数における完全測地的部分代数の可能な次元は何か。
• RQ3 ある内積のもとで、フィルフォーム可解リー代数が余次元2の完全測地的部分代数を有するか。
• RQ4 フィルフォーム可解リー代数において、完全測地的部分代数がその直交補空間を保存する場合に生じる制約は何か。
• RQ5 任意の内積のもとで、次元が2より大きい完全測地的部分代数を有しない可解リー代数は存在するか。

主な発見

• すべての計量リー代数に少なくとも1つの測地的要素が存在することを示す、Kaczerの定理の新たな証明が提示された。
• 特定の内積のもとで、標準的フィルフォーム可解リー代数に余次元2の完全測地的部分代数が存在する。
• 他のいかなるフィルフォーム可解リー代数でも、任意の内積のもとで余次元2の完全測地的部分代数は存在しない。
• フィルフォーム可解リー代数において、その直交補空間を保存する完全測地的部分代数の次元は、元の代数の次元の半分以下に制限される。
• 任意の内積のもとで次元が2より大きい完全測地的部分代数を有しない6次元のフィルフォーム可解リー代数が構成された。