[論文レビュー] Toward accurate polynomial evaluation in rounded arithmetic

James Demmel, Ioana Dumitriu+1 more|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Numerical Methods and Algorithms参考文献 64被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、基本的な演算および定数を用いて、多変数多項式が丸められた算術において相対誤差が1未塔の範囲で正確に評価可能かどうかを判定する意思決定手順を開発する。特に、複素数領域上の整数係数の同次多項式について、正確な評価が可能な必要十分条件を確立し、多項式バーデルモンド行列などの構造的行列について、その小行列に内在する不可約な代数的構造のため、追加の演算があっても正確な逆行列計算が不可能であることを証明する。

ABSTRACT

Given a multivariate real (or complex) polynomial $p$ and a domain $\cal D$, we would like to decide whether an algorithm exists to evaluate $p(x)$ accurately for all $x \in {\cal D}$ using rounded real (or complex) arithmetic. Here ``accurately'' means with relative error less than 1, i.e., with some correct leading digits. The answer depends on the model of rounded arithmetic: We assume that for any arithmetic operator $op(a,b)$, for example $a+b$ or $a \cdot b$, its computed value is $op(a,b) \cdot (1 + δ)$, where $| δ|$ is bounded by some constant $ε$ where $0 < ε\ll 1$, but $δ$ is otherwise arbitrary. This model is the traditional one used to analyze the accuracy of floating point algorithms.Our ultimate goal is to establish a decision procedure that, for any $p$ and $\cal D$, either exhibits an accurate algorithm or proves that none exists. In contrast to the case where numbers are stored and manipulated as finite bit strings (e.g., as floating point numbers or rational numbers) we show that some polynomials $p$ are impossible to evaluate accurately. The existence of an accurate algorithm will depend not just on $p$ and $\cal D$, but on which arithmetic operators and which constants are are available and whether branching is permitted. Toward this goal, we present necessary conditions on $p$ for it to be accurately evaluable on open real or complex domains ${\cal D}$. We also give sufficient conditions, and describe progress toward a complete decision procedure. We do present a complete decision procedure for homogeneous polynomials $p$ with integer coefficients, ${\cal D} = \C^n$, and using only the arithmetic operations $+$, $-$ and $\cdot$.

研究の動機と目的

• 多変数多項式 $ p(x) $ が丸められた算術において相対誤差が1未塔の範囲で正確に評価可能かどうかを判定する意思決定手順を開発すること。
• 利用可能な演算、定数、定義域に応じて、正確な評価が可能または不可能となる代数的および算術的条件を特定すること。
• 特に同次性と不可約性といった多項式構造が正確な評価の可能性に与える影響を分析すること。
• ヴァンデルモンド行列やカウチ行列などの構造的行列に対する正確な線形代数アルゴリズムの先行研究を拡張し、根本的な代数的障害を特定すること。
• 多項式の定義する多様体の性質が、なぜ逆行列や小行列の計算が追加の演算があっても正確にできないかを明確にすること。

提案手法

• 丸められた算術を、各演算が相対誤差を $ \epsilon \ll 1 $ 以内に制限する標準的な浮動小数点モデルとしてモデル化し、$ \delta $ はその範囲内で任意にとれるものとする。
• 代数幾何学的手法を用いて多項式 $ p(x) $ の多様体を分析し、$ p $ の零点集合が丸め誤差のもとでも保存されるかどうかに注目する。
• 「許容可能な多様体」という概念を導入し、基本的な算術演算および定数を用いて正確に計算可能な多様体を定義する。
• 複素数空間 $ \mathbb{C}^n $ 上の整数係数の同次多項式に対して、項の優位性と非優位項の除去に基づいて、必要十分条件を導出する。
• 構造的行列（例：多項式ヴァンデルモンド行列）の小行列を、その要素が多項式である行列の行列式として表現し、得られる多項式の不可約性を検討する。
• 対称関数（例：シュール関数）を用いて行列式の表現を分解し、特定の小行列が不可約多項式を定義することを証明することで、正確な評価が不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数多項式 $ p $ および定義域 $ \mathcal{D} $ に対して、丸められた算術において相対誤差が1未塔の範囲で正確な評価アルゴリズムが存在する条件は何か？
• RQ2 整数係数の同次多項式が $ \mathbb{C}^n $ 上で、$ +, -, \cdot $ のみを用いて正確な評価アルゴリズムの存在をアルゴリズム的に決定可能か？
• RQ3 なぜ多項式ヴァンデルモンド行列のような特定の構造的行列では、追加の演算があってもその逆行列や小行列が正確に計算できないのか？
• RQ4 行列の小行列を定義する多項式の不可約性が、正確な評価が不可能である要因として果たす役割は何か？
• RQ5 直交多項式などの特定の多項式クラスでは、一般の制限がある中でも正確なSVDやEVD計算が可能か？

主な発見

• 複素数空間 $ \mathbb{C}^n $ 上の整数係数の同次多項式に対しては、項の優位性と非優位項の除去に基づき、$ +, -, \cdot $ のみを用いて正確な評価が可能かどうかを完全に決定する意思決定手順が存在する。
• 多項式ヴァンデルモンド行列の逆行列は、追加の演算があっても、その小行列が不可約多項式を定義し、許容されない多様体を持つため、古典的な丸められた算術でも正確に計算できない。
• 多項式ヴァンデルモンド行列の小行列の行列式はシュール関数の線形結合として表現され、$ n \geq 4 $ の場合、この表現は次数 $ k \geq 2 $ の不可約因子をもつ多項式を定義する。このような多項式は正確に評価できない。
• 多項式ヴァンデルモンド行列のLDU分解も、標準的なヴァンデルモンドの場合と同様に、L要因に同じ不正確さが引き継がれるため、正確に計算できない。
• 直交多項式などの特別な多項式クラスでは、正確なSVDおよびおそらく対称EVDが可能であることが示され、多項式の構造が一般には不可能とされる状況においても正確な計算を可能にする可能性を示している。
• 本稿では、特定の構造的行列に対して、任意の有界次数のブラックボックス演算を加えても、その逆行列計算が代数的性質に起因して正確にできないことを証明している。