[論文レビュー] Towards a classification of Lorentzian holonomy groups. Part II: Semisimple, non-simple weak-Berger algebras

Thomas Leistner|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、任意の分解不能かつ非既約なローレンツ型ホロノミー代数のso(n)射影が、常にリーマン型ホロノミー代数であることを証明することにより、ローレンツ型ホロノミー群の分類を完了する。ルート系解析と弱ベルジャーアルgebra条件を用いて、半単純で非単純な複素弱ベルジャーアルゲブラが、リーマン型ホロノミー代数の複素化として生じることを示し、結果として、すべてのこのようなローレンツ型ホロノミー群がG ⋉ ℝⁿの形をしていることを確立する。ここでGはリーマン型ホロノミー群である。

ABSTRACT

The holonomy group of an (n+2)-dimensional simply-connected, indecomposable but non-irreducible Lorentzian manifold (M,h) is contained in the parabolic group $(\mathbb{R} imes SO(n))\ltimes \mathbb{R}^n$. The main ingredient of such a holonomy group is the SO(n)--projection $G:=pr_{SO(n)}(Hol_p(M,h))$ and one may ask whether it has to be a Riemannian holonomy group. In this paper we show that this is always the case, completing our results of the first part math.DG/0305139. We draw consequences for the existence of parallel spinors on Lorentzian manifolds.

研究の動機と目的

• 半単純で非単純な弱ベルジャーアルゲブラの未解決ケースを解消することで、ローレンツ型ホロノミー群の分類を完了すること。
• 任意の非自明に作用する半単純で非単純な複素弱ベルジャーアルゲブラが、リーマン型ホロノミー代数の複素化であることを証明すること。
• 分解不能かつ非既約なローレンツ型ホロノミー代数のso(n)射影が、常にリーマン型ホロノミー代数であることを確立すること。
• 分類結果を、ローレンツ多様体上での平行スピン場の存在に応用し、そのホロノミーがG ⋉ ℝⁿの形をしており、Gは平行スピン場を許容するリーマン型ホロノミー代数でなければならないことを示すこと。
• タイプ3および4のホロノミー代数の構造的特徴を、中心部成分を有する既知のリーマン型ホロノミー代数と結びつけること。

提案手法

• 計量に関する巡回的対称性条件を満たすテンソル空間Bₕ(ℊ)を用いて定義される弱ベルジャーアルゲブラ条件を利用する。
• ルート空間および重層空間の分解技術を用いて、複素非可約弱ベルジャーアルゲブラを分類する。
• Lei03における特徴付けを用い、弱ベルジャーアルゲブラが根および重層に関して特定の重層集合の包含関係を満たすことを適用する。
• Borel-Lichnerowicz型の分解を用いて、so(n)射影G = pr_{so(n)}(Holₚ(M,h))の構造を分析する。
• 実型の弱ベルジャーアルゲブラは、その複素化も弱ベルジャーアルゲブラであるという事実を用い、複素リー代数の技法を適用する。
• Bou00の結果を応用し、ホロノミー代数の中心からℝᵏへの全射を用いて、タイプ1または2からタイプ3または4の計量を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての半単純で非単純な複素弱ベルジャーアルゲブラは、リーマン型ホロノミー代数の複素化であるか？
• RQ2 分解不能かつ非既約なローレンツ型ホロノミー代数のso(n)射影は、必然的にリーマン型ホロノミー代数であるか？
• RQ3 どのホロノミー型（1〜4）が、ローレンツ多様体上での平行スピン場の存在を許容するか？
• RQ4 平行スピン場を持つローレンツ多様体のホロノミー代数がタイプ4であることは可能か、それともタイプ2に制限されるか？
• RQ5 so(n)射影の中心が、平行スピン場を持つローレンツ多様体のホロノミー構造の可能性を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非自明に作用する半単純で非単純な複素弱ベルジャーアルゲブラは、すべてリーマン型ホロノミー代数の複素化である。
• 分解不能かつ非既約なローレンツ多様体のホロノミー代数のso(n)射影Gは、常にリーマン型ホロノミー代数である。
• すべての弱ベルジャーアルゲブラは、リーマン多様体のホロノミー代数であり、このような代数の分類が完全に完了する。
• 平行スピン場を持つローレンツ多様体では、ホロノミー代数はG ⋉ ℝⁿの形をしており、Gは平行スピン場を許容するリーマン型ホロノミー代数である。
• タイプ4のホロノミー代数は、平行スピン場を支持できない。なぜなら、そのso(n)射影に𝔰𝔬(2)成分が含まれており、そのスピン表現は非自明で、自明な部分表現を持たないからである。
• 平行スピン場を持つローレンツ多様体のための可能な唯一のリーマン型ホロノミー代数Gは、{0}、𝔤₂、𝔟(7)、𝔰𝔭(k)、または𝔰𝔲(k)である。