[論文レビュー] Towards a Complexity-through-Realisability Theory

Thomas Seiller|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 59被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、線形論理、作用素代数、力学系の実現可能性モデルを活用することで、決定的、非決定的、確率的、並行計算など多様な計算パラダイムにわたる計算複雑性の研究を統一する、新たな意味的枠組み——実現可能性による複雑性理論——を提案する。グラフィングに基づくモデルとボレル同値関係を用いて、PTime、LogSpace、確率的クラスなど主要な複雑性クラスを特徴づけ、複雑性理論における長年の未解決問題に取り組むための新しい数学的道具を提供する。

ABSTRACT

We explain how recent developments in the fields of realisability models for linear logic -- or geometry of interaction -- and implicit computational complexity can lead to a new approach of implicit computational complexity. This semantic-based approach should apply uniformly to various computational paradigms, and enable the use of new mathematical methods and tools to attack problem in computational complexity. This paper provides the background, motivations and perspectives of this complexity-through-realisability theory to be developed, and illustrates it with recent results.

研究の動機と目的

• 決定的、非決定的、確率的、並行計算を含む多様な計算パラダイムに一貫して適用可能な、意味論に基づく計算複雑性の統一的枠組みを構築すること。
• 線形論理および確立された数学的構造に根ざした実現可能性モデルを用いて、機械に依存しない複雑性クラスの特徴づけを提供すること。
• 作用素代数および力学系からの高度な数学的道具——特にホモトピー不変量や同値関係のコスト——を用いて、P vs. NP や P vs. LogSpace といった複雑性理論における未解決問題に取り組むこと。
• 高階関数のための複雑性理論が現在整備されていない計算モデルに対して、高階関数のための複雑性理論の基盤を構築すること。
• グラフィング代数の分類を通じて複雑性クラスを分類し、複雑性理論と深い代数的不変量を結びつけること。

提案手法

• 特に測度を保存するボレル写像のマイクロコスムを用いたグラフィングに基づく、線形論理の実現可能性モデルを用いて、型を複雑性クラスとして解釈すること。
• グラフィング代数の構造を用いて複雑性クラスを定義し、2項述語の型が多頭部オートマトン（片方向、両方向、決定的、非決定的、確率的）が受理する言語に対応することを示すこと。
• ボレル同値関係のコストを用いて、正則、確率的、LogSpace、NLogSpace、coNLogSpace、PLogSpace などの複雑性クラスを特徴づけること。
• 高階関数のためのフレームワークを一般化し、(Words²Σ → Words²Σ) → (Words²Σ → Words²Σ) のような高階型の部分クラスを自然に捉えるモデルを構築すること。
• 作用素代数および力学系からのホモトピー不変量や同値関係のコストを用いて、特にボレル同型のマイクロコスムを比較することで、複雑性クラスを区別すること。
• グラフィングの代数的および測度論的基盤を活用して、量子計算および並行計算へアプローチを拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形論理の実現可能性モデルを用いて、決定的、非決定的、確率的、並行計算を含む多様な計算パラダイムにわたる複雑性クラスを一貫して特徴づけられるか。
• RQ2 測度を保存するボレル写像のマイクロコスムに関連するボレル同値関係のコストを用いて、LogSpace や PTime などの複雑性クラスを特徴づけ、区別できるか。
• RQ3 グラフィング代数の分類が、高階関数のための統一的複雑性理論の構造的基盤を提供できる程度は何か。
• RQ4 作用素代数および力学系からの不変量——例えばホモトピー不変量や同値関係のコスト——を用いて、複雑性クラス間の分離結果を証明できるか。
• RQ5 同じグラフィングに基づく実現可能性モデルを用いて、BQPtime や PPtime といった量子複雑性クラスを特徴づけることは可能か。

主な発見

• 本フレームワークは、多頭部オートマトンに基づく実現可能性モデルを用いて、正則、確率的、LogSpace、NLogSpace、coNLogSpace、PLogSpace など広範な複雑性クラスを成功裏に特徴づけた。
• 本稿では、2Dfa(k) ⊂≠ 2Dfa(k+1)、2Nfa(k) ⊂≠ 2Nfa(k+1)、co2Nfa(k) ⊂≠ co2Nfa(k+1)、2Pfa(k) ⊂≠ 2Pfa(k+1) といった包含関係が、関連するボレル同値関係のコストを用いて捉えられ、分離可能であることが示された。
• モデルは高階関数を自然に扱い、(Words²Σ → Words²Σ) → (Words²Σ → Words²Σ) のような型がタイプ2関数に対応しており、高階計算のための複雑性理論への道筋を示唆している。
• PTime を特徴づけるために用いられたマイクロコスムは群ではなく、測度を保存する写像からも構成されていないため、標準的な不変量（例：コスト）の直接適用が制限され、ボレル同値関係の理論への拡張が不可避となった。
• 本フレームワークは、Razborov と Rudich の自然証明の障壁を回避しており、複雑性理論における分離結果の証明に実用的な代替ルートを提供する可能性を示唆している。
• 本アプローチは、グラフィングの代数的および測度論的構造を用いて、BQPtime や PPtime といった確率的および量子複雑性クラスを特徴づける基盤を提供する。