[論文レビュー] Towards a Constructive Framework for Stabilization and Control of Nonlinear Systems: Passivity and Immersion (P\&I) Approach

Syed Shadab Nayyer, Sushama Wagh+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2022

Control and Stability of Dynamical Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不変のターゲット多様体、パッシブ出力、および非退化な2形式から導かれる保存関数を活用することで、非線形システムを安定化するための新しいパassivityとインマERSION（P&I）フレームワークを提案する。この手法は、多様な制御パラダイムを統合し、暗黙の多様体を介したパrameterに依存しない安定化を可能にし、構成的かつ体系的な手法として、構造的・非構造的な非線形システム、特にパrametric strict-feedback形式に適用可能である。

ABSTRACT

The varied and complex dynamics of real-world systems challenge the formulation of a systematic strategy for designing a stabilizing feedback law. Rather than taking a universal approach, the control strategies developed thus far to handle this problem are specific to the inherent structure of the system under consideration. Therefore, this paper attempts to develop a generalized theory for the design of the stabilizing feedback law wherever possible for a general class of systems, including the systems in standard structured and unstructured forms discussed in the existing literature. The theory behind this general controller design theory utilizes the idea of an invariant target manifold giving rise to a non-degenerate two form, through which the definition of certain passive outputs and storage functions leads to a generation of control law for stabilizing the system. Because the above concepts are linked with the Immersion and Invariance (I&I) design policy and the passivity theory of controller design, the proposed methodology is labeled as the "Passivity and Immersion (P&I) approach". Furthermore, being a constructive methodology, the various worked examples in this paper exemplify and demonstrate the various design paradigms such as Backstepping, Incremental Backstepping, Forwarding, I&I, and the techniques based on the generation of Control Contraction Metrics (CCM) can be unified in the P&I methodology.

研究の動機と目的

• 制御リャプノフ関数（CLF）やバックステッピングなどの既存手法に見られる制限を克服する、非線形システムを安定化する一般的で構成的なフレームワークの開発。
• バックステッピング、フォワーディング、収縮理論などの多様な制御設計パラダイムを、一つの理論的枠組みで統合すること。
• 特に多様体の吸引性を達成するための体系的手続きの欠如に起因する、インマERSIONと不変性（I&I）手法の課題を解決すること。
• パrametric不確実性に対して不変である暗黙の多様体、パッシブ出力、保存関数を構築することで、パrameterに依存しない安定化を実現すること。
• 構造的（例：strict-feedback）および非構造的非線形システムに適用可能な、体系的かつ計算的に実行可能な手法を提供すること。

提案手法

• 不変ターゲット多様体を介して非退化な2形式を構築し、これによりパッシブ出力と保存関数を定義する。
• 2段階のプロセスを採用する：まず、フルランクのΣ(x)を満たす写像Ψ(ν(η)) = ∇Ψ(ν(η))を用いてターゲット多様体を定義し、次にFinsler-Lyapunov関数（FLF）を用いて吸引性を保証する。FLFはV̇ ≤ −τ(x)Vを満たす必要がある。
• 制御則は、拡張系の変動ダイナミクスがδẋ = σ(x)δxを満たす条件から導出され、σ(x) = ∇[f(x) + g(x)Υ(x)]である。
• 候補となるFLFはV(x, δx) = δxᵀΣᵀ(x)Ξ(x)Σ(x)δxであり、軌道に沿って減少する必要がある。これにより指数的安定性が保証される。
• 収縮理論と制御収縮計量（CCM）の概念を統合し、リーマン計量M(x)を用い、δxᵀMB = 0のときAᵀM + MA + Ṁ + 2αM ≤ 0を満たす必要がある。
• パrametric strict-feedback（PSF）形式のシステムに対して実証され、適用可能性と均衡点への収束性（グローバル漸近的安定性）が示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形システムの安定化のための一般的で構成的なフレームワークを、システム固有の構造を超えて開発するにはどうすればよいか？
• RQ2 P&Iアプローチは、バックステッピング、フォワーディング、収縮理論といった既存の制御手法を、一つの理論的基盤で統合できるか？
• RQ3 インマERSIONと不変性（I&I）手法において、任意の選択に依存しないLyapunov関数の選定を避けて、多様体の吸引性を体系的に達成するにはどうすればよいか？
• RQ4 パラメータに依存しない形でパッシブ出力と保存関数を構築できる範囲はどの程度か？これによりパrametric不確実性に対するロバストネスを確保できるか？
• RQ5 提案されたP&Iフレームワークを用いた非線形システムにおける普遍的指数的安定化を保証する条件は何か？特にPSF形式および非三角形形式において。

主な発見

• P&Iフレームワークは、strict-feedbackやフィードフォワード構造を持たない非線形システムを含む広範なクラスの非線形システムに対して、安定化制御則を効果的に構築できた。
• パrametric不確実性に対して不変である暗黙の多様体、パッシブ出力、保存関数を定義することで、パrameterに依存しない安定化を達成した。
• パrametric strict-feedback（PSF）形式のシステムにおいて、P&Iアプローチは拡張系ダイナミクスを介して均衡点x*のグローバル漸近的安定性（GAS）を保証した。
• 古典的なI&I手法に欠ける体系的プロシージャを克服し、多様体の吸引性を体系的に達成する手順を提供した。
• 制御収縮計量（CCM）が凸の実行可能性条件（201）を満たす場合、普遍的指数的安定化が保証され、定理5で証明された。
• 理論的および数値的結果により、P&Iアプローチがバックステッピング、フォワーディング、収縮に基づく制御といった多様な制御パラダイムを、一つの構成的フレームワークで統合できることを示した。