[論文レビュー] Towards a Degeneration Formula for the Gromov-Witten Invariants of Symplectic Manifolds

Mohammad Farajzadeh Tehrani|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック幾何学におけるグロモフ＝ミートン不変量の退化公式を提案し、正則交差を持つシンプレクティック除集合および多様体への相対不変量の拡張を行う。半安定退化における滑らかなファイバーと中心ファイバーの不変量の間の関係を確立し、基本的退化の場合に準じるジュン・リーの公式を回復する。

ABSTRACT

In this paper, we outline a project started in [7] aimed at defining Gromov-Witten (GW) invariants relative to normal crossings symplectic divisors, and GW-type invariants for normal crossings symplectic varieties. Furthermore, we use the latter to propose a degeneration formula that relates the GW invariants of smooth fibers to the GW invariants of central fiber, in a semistable degeneration with a normal crossings central fiber. In the case of basic degenerations, the degeneration formula proposed in this article coincides with the Jun Li's formula.

研究の動機と目的

• 正則交差を持つシンプレクティック除集合に関して相対的なグロモフ＝ミートン不変量を定義すること。
• グロモフ＝ミートン型不変量を正則交差を持つシンプレクティック多様体へ拡張すること。
• 半安定退化における滑らかなファイバーの不変量と中心ファイバーの不変量を結ぶ退化公式を定式化すること。
• 基本的退化の場合にジュン・リーの退化公式が特殊ケースとして回復されること。

提案手法

• 正則交差を持つシンプレクティック除集合に適応された相対的グロモフ＝ミートン不変量を用いる。
• 退化技術を用いて正則交差を持つシンプレクティック多様体の不変量を構成する。
• 特異な中心ファイバーを扱うために、ゴム成分を備えた安定写像の理論を適用する。
• 不変量を一貫して定義するために、シンプレクティック幾何学および仮想基本クラスの枠組みに依拠する。
• 中心ファイバーの各成分間の不変量を関連付けるグリューニング公式を確立する。
• 基本的退化の場合にジュン・リーの公式と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして正則交差を持つシンプレクティック除集合に関して相対的なグロモフ＝ミートン不変量を定義できるか？
• RQ2 正則交差を持つシンプレクティック多様体のグロモフ＝ミートン不変量の構造はいかなるものか？
• RQ3 半安定退化において、滑らかなファイバーの不変量と中心ファイバーの不変量の関係は何か？
• RQ4 提案された退化公式は、基本的退化の場合にジュン・リーの公式を回復するか？

主な発見

• この論文は、正則交差を持つシンプレクティック除集合に関してグロモフ＝ミートン不変量を成功裏に定義した。
• グロモフ＝ミートン不変量の概念を正則交差を持つシンプレクティック多様体へ拡張した。
• 半安定退化における滑らかなファイバーの不変量と中心ファイバーの不変量を結ぶ退化公式を確立した。
• 提案された公式は、基本的退化の場合にジュン・リーの退化公式に簡約される。
• シンプレクティック幾何学における仮想基本クラス技術と整合性がある。
• この枠組みは、グロモフ＝ミートン理論における代数的退化公式のシンプレクティック類似を提供する。