[論文レビュー] Towards a Geometry and Analysis for Bayesian Mechanics

Dalton A R Sakthivadivel|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 13

ひとこと要約

この論文は微分幾何学と最大エントロピー原理を用いて自由エネルギー原理におけるベイジアン力学を定式化し、制約付き力学系がエントロピーの勾配上昇に基づく近似的ベイジアン推論を実行することを示している。制約が出現する力に相当するゲージ理論的解釈を提示し、非平衡定常系における自由エネルギー原理の厳密な幾何的基盤を確立している。

ABSTRACT

In this paper, a simple case of Bayesian mechanics under the free energy principle is formulated in axiomatic terms. We argue that any dynamical system with constraints on its dynamics necessarily looks as though it is performing inference against these constraints, and that in a non-isolated system, such constraints imply external environmental variables embedding the system. Using aspects of classical dynamical systems theory in statistical mechanics, we show that this inference is equivalent to a gradient ascent on the Shannon entropy functional, recovering an approximate Bayesian inference under a locally ergodic probability measure on the state space. We also use some geometric notions from dynamical systems theory$\unicode{x2014}$namely, that the constraints constitute a gauge degree of freedom$\unicode{x2014}$to elaborate on how the desire to stay self-organised can be read as a gauge force acting on the system. In doing so, a number of results of independent interest are given. Overall, we provide a related, but alternative, formalism to those driven purely by descriptions of random dynamical systems, and take a further step towards a comprehensive statement of the physics of self-organisation in formal mathematical language.

研究の動機と目的

• 複雑な力学系における自由エネルギー原理（FEP）の幾何的・解析的基盤を構築すること。
• 力学系における制約が自然に推論に類似した振る舞いを引き起こす仕組みを示し、シャノンエントロピーの勾配上昇と同等であることを示すこと。
• 微分幾何学および力学系理論の道具を用いて、制約から生じるゲージ自由度として自己組織化を解釈すること。
• 純粋な確率的力学系の手法とは対照的に、最大エントロピーおよび場の理論に基づく代替的定式化を提供すること。
• 局所的エルゴード性と定常性の下でFEPが数学的に整合的であることを確立し、非平衡統計力学に及ぼす含意を明らかにすること。

提案手法

• 自由エネルギー原理におけるベイジアン力学の公理的定式化を用い、制約をシステム的状態を定義するものとして扱う。
• 制約下での最大エントロピー原理を適用し、推論をエントロピーの勾配上昇として記述する同等の記述を導出する。
• 力学系理論からの幾何的構造を導入し、制約をゲージ自由度として解釈する。
• カテゴリ理論的双対性を用いて信念推論と状態分布最適化を関連付ける。
• 定常確率過程とレベル集合パラメータ化を用いて、制約下での系のダイナミクスをモデル化する。
• ソレノイド的および散乱的流れの分解を適用し、非平衡定常状態を記述し、FEPダイナミクスと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力学系における制約を推論のメカニズムとしてどのように形式化できるか、そしてその幾何的解釈は何か。
• RQ2 非平衡系において、自由エネルギー原理が制約下での最大エントロピーとどの程度同等であるか。
• RQ3 複雑系の自己組織化は、状態ダイナミクスの制約から生じるゲージ力として解釈可能か。
• RQ4 局所的エルゴード性がFEPフレームワーク内での近似的ベイジアン推論を可能にする役割は何か。
• RQ5 流れのソレノイド的および散乱的成分は最大エントロピー原理からどのように導かれるか。それらの物理的意味は何か。

主な発見

• 局所的エルゴード性の下で、力学系における制約はシャノンエントロピー関数の勾配上昇を通じて近似的ベイジアン推論を誘発する。
• 自由エネルギー原理は制約下でのエントロピー最大化と正式に同等であり、理論の新たな幾何的・解析的基盤を提供する。
• 系が自己組織化を維持しようとする傾向は、制約多様体から生じるゲージ力として解釈され、物理におけるゲージ対称性に類似している。
• 非平衡定常状態は、ソレノイド的および散乱的ベクトル場に分解可能であり、制約で定義される捕獲領域に向かって流れが向かう。
• 流れの分解は一意でないことが示され、これはアンサンブル統計のみが定常状態密度を決定するが、それらの背後にあるダイナミクスは決定しないことを反映している。
• 最大エントロピーはFEPの場の理論的言語を提供し、平衡を超えて一般化可能であり、複雑で適応的な系の形式的取り扱いを可能にする。