[論文レビュー] Towards a Nonperturbative Covariant Regularization in 4D Quantum Field Theory

Harald Grosse, Alexander Strohmaier|ArXiv.org|Feb 19, 1999

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、非可換幾何学を用いて構成されたファジー $\mathbb{CP}^{2}$ 空間を用いて、4次元量子場理論における非摂動的かつ共変な正則化を提案する。古典的な $\mathbb{CP}^{2}$ を有限次元行列代数に置き換えることで、理論はUV有限となり、ラプラシアンおよびディラック作用素のスペクトルが高エネルギーで切断され、自然なUVカットオフとして機能する。この方法により、$SU(3)$ の共変性が保たれ、スカラーQFTにおける明確に定義された関数積分が可能になる。

ABSTRACT

We give a noncommutative version of the complex projective space CP^2 and show that scalar QFT on this space is free of UV divergencies. The tools necessary to investigate Quantum fields on this fuzzy CP^2 are developed and possibilities to introduce spinors and Dirac operators are discussed.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学を用いて4次元量子場理論の非摂動的かつ共変な正則化スキームを構築すること。
• 幾何学的および群論的構造を保つ有限次元行列代数としての $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ の近似を構築すること。
• ファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上にスカラー場およびスピノル場を定義し、ラプラシアンおよびディラック作用素を高エネルギーで切断されたスペクトルを持つように定義することで、自然なUVカットオフを実現すること。
• 非可換設定下におけるスピンバンドルおよびディラック作用素の振る舞いを調査し、特に古典的状況と比較してゼロモードおよびインデックスの不一致の原因を明らかにすること。
• 古典的インデックスおよびゼロモード構造を回復するが、有限性を保つ修正されたスピンバンドル構成を提案すること。

提案手法

• 群論的実現として $SU(3)$ を対称性群とする $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ の非可換版を構築し、空間を商 $G/K$ として実現する。
• 幾何的量子化を用いて正則線束 $L^{m}$ の量子化により得られる有限次元行列代数 $\mathcal{A}_{N}$ としてファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ を定義する。
• 古典ラプラシアンの量子化によりファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上のラプラシアン作用素を構成し、高固有値での切断まで古典的スペクトルと一致することを示す。
• 等変写像 $\overline{\partial}_{N}$ を用いて、量子化された線束の断面間の作用を介し、$\mathrm{Spin}^{\mathbb{C}}$-ディラック作用素 $D_{m}$ を量子化されたドルベール複体から定義する。
• スペクトル三重対 $(\mathcal{A}_{N}, \mathcal{H}_{N}, D_{m})$ を用いて、非可換代数 $\mathcal{A}_{N}$ 上に微分計算を定義し、$SU(3)$ 対称性と整合することを保証する。
• 古典的インデックスおよびゼロモード数を回復するための代替的スピンバンドル構造 $M_{S_{m}}^{N} = M_{L^{m}}^{N} \oplus M_{L^{m+3}}^{N+2} \oplus M_{L^{m+1} \otimes H^{-1}}^{N+1}$ を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学から得られる有限次元行列代数を用いて、4次元QFTの非摂動的かつ共変な正則化を構築できるか？
• RQ2 ファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上のラプラシアンおよびディラック作用素のスペクトルは、それらの古典的対応物とどのように異なるか？また、切断スケールの役割は何か？
• RQ3 非可換設定下ではなぜゼロモードの数およびディラック作用素のインデックスが古典的状況と異なるのか？
• RQ4 ファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上のスピンバンドルの修正された構成により、古典的インデックスおよびゼロモード構造を回復できるか？
• RQ5 得られる有限次元理論は、UV発散なしにスカラーQFTの明確な関数積分を実現できるか？

主な発見

• スカラー量子場理論がファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上で有限次元関数代数のおかげでUV発散を回避し、明確に定義された関数積分が可能になる。
• ファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上のラプラシアン作用素のスペクトルは、高固有値での切断まで古典的スペクトルと一致し、自然なUVカットオフとして機能する。
• ファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上での標準的 $\mathrm{Spin}^{\mathbb{C}}$-ディラック作用素の構成では、$\overline{\partial}_{N}$ が高次表現で消えるため、古典的状況と比較してインデックスおよびゼロモード数が異なる。
• ディラック作用素 $D_{m}$ の固有値は、$m \geq 0$ のとき $n \in \{1,\dots,N-m-1\}$ に対して $\lambda_{n}^{\pm} = \pm\sqrt{2n(n+2) + 2|m|(n+1) - 2m}$ で与えられ、重複度は $(n + \frac{|m|+2}{2})(n+|m|+1)(n+1)$ である。
• 修正されたスピンバンドル構成により、古典的インデックスおよびゼロモード数が回復される：$\mathrm{index}(D_{m}) = \frac{3}{2}(N^{2} + 3N + 2)$ および $\mathrm{mult}_{\lambda=0} = \frac{N+2}{2}(m^{2} - 3mN + 2N^{2} + 2N + 2)$。
• スペクトル三重対 $(\mathcal{A}_{N}, \mathcal{H}_{N}, D_{m})$ は、非可換代数 $\mathcal{A}_{N}$ 上に明確に定義された微分計算を提供し、$SU(3)$ 共変性を保ち、ファジー $\u005Cmathbb{CP}^{2}$ 上の非摂動的QFTを可能にする。