[論文レビュー] Towards a Simulation of Quantum Computers by Classical Systems

Z. Haba, H. Kleinert|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、白色ノイズを伴う確率微分方程式に従う2次元変位場によって制御される、古典的確率的モデルを提案する。複素場の実部と虚部を波動関数の成分にマッピングすることで、古典的力学から量子調和振動子の離散的エネルギー準位を導出する。さらに、リッカティ型のポテンシャル構成を用いることで、任意のポテンシャルへ一般化される。

ABSTRACT

We present a two-dimensional classical stochastic differential equation for a displacement field of a point particle in two dimensions and show that its components define real and imaginary parts of a complex field satisfying the Schroedinger equation of a harmonic oscillator. In this way we derive the discrete oscillator spectrum from classical dynamics. The model is then generalized to an arbitrary potential. This opens up the possibility of efficiently simulating quantum computers with the help of classical systems.

研究の動機と目的

• 量子系の離散的エネルギー準位を再現できる古典的系の開発を目的とする。
• 従来の古典的モデルが持つエネルギー準位の下界の欠如という限界を克服することを目的とする。
• 量子力学、特にそのスペクトルが古典的確率的力学から生じることを示すこと。
• 調和関数を用いたリッカティ方程式によるポテンシャル表現を用いて、モデルを任意のポテンシャルへ一般化すること。
• 量子コンピュータを量子デコherenceの問題を回避して古典的系でシミュレートする可能性を検討すること。

提案手法

• 変位場 u(x,t) に対して、回転流と (1,1) 方向の白色ノイズによって駆動される2次元古典的確率微分方程式を定義する。
• 変位場の成分はコーシー・リーマン方程式を満たし、正則構造を保証する。ノイズは平均ゼロ、自己相関関数 ⟨η(t)η(t′)⟩ = ℏδ(t−t′) を持つ。
• ノイズの平均化により、平均変位場に関するフォッカー・プランク型方程式が得られ、複素場変換の後、シュレーディンガー方程式に類似した方程式に帰着される。
• 複素場 ψ(x,t) = e^{−S¹(x)/ℏ}[ū¹(x,t) + iū²(x,t)] を導入し、S¹(x) を調和関数とし、この場がリッカティ方程式から導かれるポテンシャル V(x) を持つ時間に依存するシュレーディンガー方程式を満たすことを示す。
• 調和関数 S¹(x) を一般の関数に置き換えることで、任意のポテンシャルへ一般化され、V(x) = ½(∂ₓS¹)² − (ℏ/2)∂ₓ²S¹ が得られる。
• ノイズは、初期条件が確率的な古典的調和振動子の和としてモデル化され、連続極限で白色ノイズの自己相関関数が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的確率的系は、量子調和振動子の離散的エネルギー準位を再現できるか？
• RQ2 提案されたモデルは、従来の古典的アナロジーに見られる下界のないエネルギー準位問題を回避するか？
• RQ3 適切な変換を用いることで、任意のポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式が古典的確率的力学から導出可能か？
• RQ4 古典的ノイズと決定論的力学のみを用いて、量子波動関数とその時間発展をシミュレート可能か？
• RQ5 量子力学の測定の公理が、このような古典的確率的枠組みから導出可能か？

主な発見

• 平均変位場 ū(x,t) は時間に依存しない演算子  Ĥ に従い、複素場 ψ(x,t) に対してシュレーディンガーに類似した力学を生成する。
• 調和振動子の場合、ポテンシャル V(x) は V(x) = ½(∂ₓS¹)² − (ℏ/2)∂ₓ²S¹ として得られ、S¹(x) = ωx²/2 を用いることで標準的な調和振動子スペクトルが再現される。
• モデルは、基底状態を有する離散的エネルギー準位を効果的に生成し、従来の古典的モデルが抱える無限下界問題を解決する。
• 複素場 ψ(x,t) はシュレーディンガー方程式 iℏ∂ₜψ = [−(ℏ²/2)∂ₓ² + V(x)]ψ を満たし、量子力学的挙動が確認される。
• ノイズ源 η(t) は、初期条件が確率的な古典的調和振動子の和に置き換え可能であり、連続極限で必要な白色ノイズ自己相関関数が得られる。
• 調和関数 S¹(x) を用いたリッカティ型ポテンシャル構成により、モデルは任意のポテンシャルへ一般化され、任意の量子ポテンシャル問題の古典的シミュレーションが可能となる。