[論文レビュー] Towards general relativity through parametrized theories

Juan Margalef-Bentabol|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 67被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論をパラメータ化された場の理論から一般化ハミルトニアン（GNH）アルゴリズムを用いて体系的に導出するフレームワークを開発する。スカラー場および電磁場を点質量と結合させた系に対して、シンプレクティック形式およびラグランジュ形式を一貫して適用することで、パラメータ化理論をフォック量子化する際、一般相対性理論が制約付き系として出現することが示され、時間発展演算子のユニタリ実装により、相対論的不変性と整合していることが確認される。

ABSTRACT

Boundaries, GNH, and parametrized theories. It takes three to tango. This is the motto of my doctoral thesis and the common thread of it. The thesis is structured as follows: after some acknowledgments and a brief introduction, chapter one is devoted to establishing the mathematical background necessary for the rest of the thesis (with special emphasis in the space of embeddings and the Fock construction). Chapter two is based on our papers arXiv:1701.00735, arXiv:1611.09603, and arXiv:1501.05114. We study carefully a system consisting of a string with two masses attached to the ends and try to establish if we can identify degrees of freedom at the boundary both classically and quantically (spoiler alert: it is not possible). The next chapter is a brief introduction to the parametrized theories with the simple example of the parametrized classical mechanics. The 4th chapter deals with the parametrized electromagnetism with boundaries, a generalization of our paper arXiv:1511.00826. The following chapter focuses on the parametrized scalar field with boundaries (see arXiv:1507.05438). The 6th chapter deals with the parametrized Maxwell-Chern-Simons and Chern-Simons theories with boundaries. Chapter seven delves into the theory of general relativity using the GNH algorithm, showing that the Hamiltonian formulation (ADM) can be obtained in a more direct and simple way. The same study is performed over the unimodular gravity. In the last chapter we gather the conclusions and some hints about the future work. Finally, an appendix is included with some additional mathematical topics as well as explicit computations.

研究の動機と目的

• パラメータ化された場の理論のための厳密な幾何学的・ハミルトニアン的枠組みを確立し、一般相対性理論への道筋を示す。
• パラメータ化系における古典的および量子的制約が、一般相対性理論に特徴的な微分同相変換不変性の出現にどのように寄与するかを調査する。
• 有界領域におけるスカラー場およびゲージ場に対してGNHアルゴリズムを適用し、制約とシンプレクティック構造の整合性を保証する。
• フォック量子化における時間発展演算のユニタリ実装を示し、量子論的整合性と相対論的不変性の両立を確認する。
• 境界条件および埋め込み空間が、パラメータ化理論から一般共変理論への移行において果たす役割を明確化する。

提案手法

• パラメータ化された場の理論の作用から、一貫して制約とシンプレクティック構造をGNHアルゴリズムを用いて導出する。
• ファイバー微分およびルジャンドル変換を用いて、ラグランジュ形式をファイバー束上のハミルトニアン形式に写像する。
• 無限次元位相空間を扱うために、ベクトル束上のシンプレクティック幾何学および微分幾何学を用いる。
• 得られたヒルベルト空間上でフォック量子化を実装し、量子状態のユニタリな時間発展を保証する。
• 境界条件および埋め込み空間を分析し、量子論的領域における微分同相変換不変性の維持を検証する。
• GNHアルゴリズムを用いてアインシュタイン＝ヒルベルト作用素から一般相対性理論を再構築し、制約とゲージ対称性の出現を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一貫したハミルトニアン枠組みを用いて、一般相対性理論がパラメータ化場理論の極限または特殊ケースとして導出可能か。
• RQ2 パラメータ化されたスカラー場および電磁場の制約とシンプレクティック構造は、一般相対性理論のそれらとどのように関係するか。
• RQ3 パラメータ化系のフォック量子化において、時間発展演算のユニタリ実装を保証する条件は何か。
• RQ4 境界条件および空間的埋め込みは、量子論的理論における微分同相変換不変性の出現にどのように影響するか。
• RQ5 GNHアルゴリズムは、一般共変系の正準量子化における曖昧さをどのように解消するか。

主な発見

• GNHアルゴリズムは、パラメータ化されたスカラー場および電磁場におけるすべての制約とシンプレクティック構造を的確に同定し、正準重力理論と整合していることを確認した。
• パラメータ化されたスカラー場のフォック量子化により、量子状態のユニタリな時間発展が得られ、相対論的力学と整合していることが示された。
• 有界領域におけるパラメータ化スカラー場のハミルトニアン形式は、明確な境界項およびトレース作用素を示し、量子論的整合性に不可欠である。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用素をGNHアルゴリズムで取り扱うことで、一般相対性理論の標準的制約が再現され、本手法の有効性が裏付けられた。
• ユニモジュラー重力は、パラメータ化フレームワークにおいて自然に現れるバリエーションであり、パラメータ化と重力のゲージ自由度の背後にある深い関係を示唆している。
• 本稿は、一般相対性理論が、微分同相変換不変性が制約代数に埋め込まれた制約付き系として、パラメータ化場理論から出現することを確立した。