[论文解读] Towards Logarithmic GLSM: The r-spin case

Qile Chen, Felix Janda+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文通过使用稳定对数映射，建立了一个对规范线性sigma模型（GLSM）模空间进行紧化（compactification）的对数框架，实现了约化的完美障碍理论，从而恢复了Witten的r自旋虚拟循环。通过将Kiem-Li余截面技术扩展至对数边界分量，作者构建了一个适当的模堆栈，其虚拟循环与Chang–Li–Li的r自旋循环一致，为高亏格Gromov–Witten理论中的计算应用铺平了道路。

ABSTRACT

In this article, we establish the logarithmic foundation for compactifying the moduli stacks of the gauged linear sigma model using stable log maps of Abramovich-Chen-Gross-Siebert. We then illustrate our method via the key example of Witten's $r$-spin class to construct a proper moduli stack with a reduced perfect obstruction theory whose virtual cycle recovers the $r$-spin virtual cycle of Chang-Li-Li. Indeed, our construction of the reduced virtual cycle is built upon the work of Chang-Li-Li by appropriately extending and modifying the Kiem-Li cosection along certain logarithmic boundary. In the subsequent article, we push the technique to a general situation. One motivation of our construction is to fit the gauged linear sigma model in the broader setting of Gromov-Witten theory so that powerful tools such as virtual localization can be applied. A project along this line is currently in progress leading to applications including computing loci of holomorphic differentials, and calculating higher genus Gromov-Witten invariants of quintic threefolds.

研究动机与目标

• 开发一种利用稳定对数映射对GLSM模堆栈进行对数紧化的框架。
• 为r自旋情形构建一个具有约化完美障碍理论的适当模堆栈。
• 通过在对数设置下使用余截面局部化的虚拟循环，恢复Chang–Li–Li的r自旋虚拟循环。
• 使虚拟局部化及其他Gromov–Witten工具能够应用于GLSM和r自旋不变量。

提出的方法

• 利用具有统一最大退化性的稳定对数映射，对GLSM模堆栈进行紧化。
• 在对数边界除子上引入Kiem–Li余截面技术的对数增强形式。
• 通过限制到约化余截面的退化性集合，定义对数模空间上的约化完美障碍理论。
• 应用虚拟拉回与余截面局部化，将对数空间上的约化虚拟循环与原始r自旋循环关联起来。
• 在对数扩展堆栈上构造一个相对余截面，并证明其在最大边界分量上是满射的。
• 利用虚拟拉回与余截面局部化的兼容性，证明对数空间上的约化循环映射到所需的r自旋循环。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用对数稳定映射对GLSM模堆栈进行紧化，以支持约化完美障碍理论？
• RQ2 如何通过对数余截面局部化构造来恢复r自旋虚拟循环？
• RQ3 对数边界分量在将Kiem–Li余截面技术扩展至GLSM中的作用是什么？
• RQ4 对数模空间上的约化虚拟循环是否与Chang–Li–Li的经典r自旋循环一致？
• RQ5 该框架能否推广，以实现GLSM和Gromov–Witten理论中的虚拟局部化与有效计算？

主要发现

• 本文通过基于对数紧化的框架，构建了一个具有约化完美障碍理论的适当GLSM模堆栈。
• 证明了对数模空间上的约化虚拟循环与Chang–Li–Li的r自旋理论的虚拟循环同构。
• 对数扩展堆栈上的约化余截面在最大边界除子上是满射的，确保了局部化虚拟循环的适当支撑。
• 对数模空间的开子堆栈上的虚拟循环在r自旋情形下恢复了Witten的上 Chern 类。
• 该构造为将虚拟局部化及其他Gromov–Witten技术应用于GLSM和r自旋不变量提供了基础。