[논문 리뷰] Towards Optimal Separations between Quantum and Randomized Query Complexities

Avishay Tal|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 무작위 직교 행렬을 사용한 $k$-폴드 Forrelation 문제의 새로운 변종을 제안하며, 양자 질의 복잡도가 $2^{O(k)}$이고, 랜덤화 질의 복잡도가 $\tilde{\theta}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$임을 보여준다. 이 결과는 부분 부울 함수에 대해 양자와 랜덤화 질의 복잡도 간에 $O(1)$ 대 $N^{2/3 - \varepsilon}$의 최적 분리 결과를 처음으로 확립하였으며, 이는 결합된 결정 트리의 허수성에 기반한 푸리에 분석 기법을 통해 달성되었다.

ABSTRACT

The query model offers a concrete setting where quantum algorithms are provably superior to randomized algorithms. Beautiful results by Bernstein-Vazirani, Simon, Aaronson, and others presented partial Boolean functions that can be computed by quantum algorithms making much fewer queries compared to their randomized analogs. To date, separations of $O(1)$ vs. $\\sqrt{N}$ between quantum and randomized query complexities remain the state-of-the-art (where $N$ is the input length), leaving open the question of whether $O(1)$ vs. $N^{1/2+\\Omega(1)}$ separations are possible? We answer this question in the affirmative. Our separating problem is a variant of the Aaronson-Ambainis $k$-fold Forrelation problem. We show that our variant: (1) Can be solved by a quantum algorithm making $2^{O(k)}$ queries to the inputs. (2) Requires at least $\ ilde{\\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ queries for any randomized algorithm. For any constant $\\varepsilon>0$, this gives a $O(1)$ vs. $N^{2/3-\\varepsilon}$ separation between the quantum and randomized query complexities of partial Boolean functions. Our proof is Fourier analytical and uses new bounds on the Fourier spectrum of classical decision trees, which could be of independent interest. Looking forward, we conjecture that the Fourier bounds could be further improved in a precise manner, and show that such conjectured bounds imply optimal $O(1)$ vs. $N^{1-\\varepsilon}$ separations between the quantum and randomized query complexities of partial Boolean functions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 알려진 양자와 랜덤화 질의 복잡도 분리 간 격차를 메우기 위해, 특히 $O(1)$ 대 $N^{1/2 + \Omega(1)}$ 분리가 가능한지 여부를 밝히는 것.
• 기존의 최상위 수준인 $O(1)$ 대 $\sqrt{N}$ 분리보다 더 강한 분리를 갖는 새로운 문제 변종을 구성함으로써 이를 향상시키는 것.
• 무작변 직교 행렬을 사용한 $k$-폴드 Rorrelation 문제에 대해, 임의의 랜덤 알고리즘이 $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$의 질의를 요구함을 증명하는 것.
• 결정 트리 함수의 $L_{1,\ell}$-노름에 대한 푸리에 분석 기반의 경계를 확립함으로써, 하한 증명의 핵심이 되는 것.
• 더 강력한 푸리에 경계가 존재할 경우, 최적의 $O(1)$ 대 $N^{1-\varepsilon}$ 분리를 이끌어낼 수 있으며, 질의 복잡도의 최전선을 발전시키는 것.

제안 방법

• 헤이드마르드 행렬 대신 균일하게 무작위로 선택된 직교 행렬을 사용한 $k$-폴드 Forrelation 문제의 새로운 변종인 $k$-폴드 Rorrelation을 도입한다.
• Rorrelation 함수를 $k$개의 입력 벡터와 무작위 직교 행렬 $U$를 포함하는 다항형식으로 정의하며, 이는 구조화된 입력과 무작위 입력을 구분하는 것을 목표로 한다.
• 재귀적 허드마르드 유사 변환을 통해 양자 알고리즘이 $2^{O(k)}$의 질의로 $k$-폴드 Rorrelation 문제를 해결할 수 있음을 증명한다.
• 결정 트리의 푸리에 스펙트럼을 분석하고 $L_{1,\ell}$-노름을 경계함으로써, 임의의 랜덤 결정 트리가 $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$의 질의를 수행해야 함을 확립한다.
• 무작위 직교 행렬에서 유도된 입력 분포 $\mathcal{D}_{U,k}$의 허수성 특성을 활용하여, 얕은 랜덤 결정 트리가 이 분포를 균일 입력과 구분할 수 없음을 보인다.
• 분포 $\mathcal{D}_{U,k}$에 대한 모멘트 경계를 유도하고, 이를 통해 결정 트리의 기대값이 균일 입력에서의 값과 가까워지며, 이로 인해 질의 복잡도 하한이 도출됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 부울 함수에 대해 $O(1)$ 대 $N^{1/2 + \Omega(1)}$의 양자와 랜덤화 질의 복잡도 분리를 달성할 수 있는가?
• RQ2 무작위 직교 행렬을 사용한 $k$-폴드 Rorrelation 문제는 랜덤 알고리즘에게 어려운가? 그리고 이 어려움은 푸리에 분석을 통해 증명될 수 있는가?
• RQ3 깊이-$d$ 결정 트리의 $L_{1,\ell}$-노름에 대한 날카운 경계는 무엇이며, 질의 복잡도 하한과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $\mathcal{D}_{U,k}$—무작위 직교 행렬을 통해 추출된 $k$-튜플의 분포—의 허수성은 랜덤화 질의 복잡도 하한을 증명하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ5 결정 트리에 대한 향상된 푸리에 경계는 최적의 $O(1)$ 대 $N^{1-\varepsilon}$ 분리를 이끌어낼 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 양자 질의 복잡도가 $2^{O(k)}$인 부분 부울 함수를 구성하였으며, 이는 고정된 $k$에 대해 상수이다. 랜덤화 질의 복잡도는 $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$이다.
• 임의의 상수 $\varepsilon > 0$에 대해, 이 구성은 양자와 랜덤화 질의 복잡도 간에 $O(1)$ 대 $N^{2/3 - \varepsilon}$의 분리를 달성한다.
• 양자 알고리즘은 $2^{O(k)}$의 질의로 $k$-폴드 Rorrelation 문제를 해결하며, 이는 Aaronson와 Ambainis의 $k$-폴드 Forrelation에 대한 상한과 일치한다.
• 랜덤화 질의 복잡도 하한은 깊이-$d$ 결정 트리의 $L_{1,\ell}$-노름에 대한 새로운 푸리에 분석 기반 경계로부터 유도되었으며, $L_{1,\ell}(f) \leq \binom{d}{\ell}$임을 보여준다.
• 무작위 직교 행렬을 통해 유도된 분포 $\mathcal{D}_{U,k}$는 얕은 랜덤 결정 트리에 대해 허수성을 띠며, 이는 하한을 확립하는 데 기여한다.
• 저자들은 결정 트리의 $L_{1,\ell}$-노름에 대한 더 강력한 경계가 존재할 경우, 최적의 $O(1)$ 대 $N^{1-\varepsilon}$ 분리를 이끌어낼 수 있으며, 이는 질의 복잡도 분야의 나머지 격차를 메우는 길이 될 것이라 추측한다.