[論文レビュー] Towards Solving the Navier-Stokes Equation on Quantum Computers

Navamita Ray, Tirtha Banerjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、D-Waveなどの断熱的量子アニーリングマシン上で1次元の非定常な流れのナビエ＝ストークス方程式を解くワークフローを提案する。固定小数点演算と最小二乗法による最適化を経て、問題を二次無制約バイナリ最適化（QUBO）形式に変換する。主な貢献は、量子アニーリングマシンの分布からの重み付きおよび重みなし平均解が、エネルギーが最小の解を上回ることを示したことである。性能は精度とグリッド解像度に敏感であり、流体力学的問題を量子アニーリングマシンにマッピングする初期の試みの1つである。

ABSTRACT

In this paper, we explore the suitability of upcoming novel computing technologies, in particular adiabatic annealing based quantum computers, to solve fluid dynamics problems that form a critical component of several science and engineering applications. We start with simple flows with well-studied flow properties, and provide a framework to convert such systems to a form amenable for deployment on such quantum annealers. We analyze the solutions obtained both qualitatively and quantitatively as well as the sensitivities of the various solution selection schemes on the obtained solution.

研究の動機と目的

• 断熱的量子アニーリングマシン上で流体力学的問題、特にナビエ＝ストークス方程式を解く可能性を検討すること。
• D-Waveハードウェアに適したバイナリ変数を用いたQUBO問題に変換可能な、実数値の偏微分方程式（PDE）離散化を体系的に変換するワークフローを構築すること。
• 古典的数値解と比較して、異なる解の抽出戦略（エネルギー最小、重みなし平均、重み付き平均）の性能を評価すること。
• 固定小数点演算における精度と空間離散化におけるグリッド解像度の変化に伴う量子解の感度を分析すること。
• 流体力学的・工学的分野におけるPDEから生じる線形系に量子アニーリングを適用する基盤となるフレームワークを確立すること。

提案手法

• 空間方向には2次精度中央差分、時間方向には後退オイラー法を用いて、1次元時間依存ナビエ＝ストークス方程式を離散化する。
• 可変精度（2〜8ビット）の固定小数点演算を用いて、実数値変数をバイナリ表現に変換する。
• 得られた線形系を最小二乗法による最適化問題に定式化し、QUBOへのマッピングを可能にする。
• 最小二乗問題を、D-Waveのチメラアーキテクチャと互換性のある二次無制約バイナリ最適化（QUBO）問題に変換する。
• D-Wave量子アニーリングマシンを用いて、複数回の実行で解の分布をサンプリングする。
• 3つの解の抽出戦略を適用する：エネルギーが最小の状態を選択する、全サンプルの重みなし平均を計算する、出現頻度に基づいた重み付き平均を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元チャネル流れのナビエ＝ストークス方程式を、D-Wave量子アニーリングマシン上で解けるQUBO形式の問題に効果的に変換できるか？
• RQ2 古典的二重精度解と比較して、エネルギー最小、重みなし平均、重み付き平均のうち、どの解の抽出戦略が最も高い精度を示すか？
• RQ3 固定小数点精度と空間グリッド解像度の変化に伴い、解の精度と安定性はどのように変化するか？
• RQ4 グリッド解像度や精度を向上させることは、常に解の品質を向上させるのか、それともノイズを増幅させるのか？
• RQ5 埋め込みやサンプリング分布といったパrameterに起因する、量子解のプロセスの固有の感度は何か？

主な発見

• D-Waveアニーリングマシンから得られるエネルギー最小解は、古典的解と比較して誤差指標において一貫して最も悪かった。
• 重みなし平均および重み付き平均の両方の解が、エネルギー最小解よりも著しく高い精度を示し、特に重み付き平均は複数回の実行にわたって一貫性が高かった。
• 低精度（例：2〜4ビット）では、重みなし平均解が重み付き平均を上回る性能を示した。これは、低精度下でノイズが支配的であることを示唆している。
• 高精度（例：6〜8ビット）では、出現頻度に基づいた重み付き平均がより高い精度を達成した。これは、サンプリングがより信頼性があるようになったことを示している。
• グリッド解像度や精度を向上させても、解の精度が一貫して向上するとは限らず、むしろシステムノイズが増幅され、性能が劣化する傾向にあった。
• 量子アニーリングマシンの解分布には顕著なばらつきが見られた。これは、この文脈において、解の抽出戦略がハードウェアの能力そのものよりも重要であることを示している。