[論文レビュー] Trace and extension theorems for functions of bounded variation

Lukáš Malý, Nageswari Shanmugalingam+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、1-ポincare不等式を満たし、余次元1のアーフォルス正則境界をもつ二重化測度空間において、境界 ∂Ω 上の任意の L1 関数が、Ω 上の BV 関数のトレースとして現れることを確立する。本稿では、L1(∂Ω) から BV(Ω) への有界な非線形拡張作用素を構成し、Besov 空間 B01,1(∂Ω) から BV(Ω) への有界な線形拡張作用素を構成することで、BV(Ω) のトレース空間が L1(∂Ω) に一致することを示した。

ABSTRACT

In this paper we show that every $L^1$-integrable function on $\partial\Omega$ can be obtained as the trace of a function of bounded variation in $\Omega$ whenever $\Omega$ is a domain with regular boundary $\partial\Omega$ in a doubling metric measure space. In particular, the trace class of $BV(\Omega)$ is $L^1(\partial\Omega)$ provided that $\Omega$ supports a 1-Poincar\'e inequality. We also construct a bounded linear extension from a Besov class of functions on $\partial\Omega$ to $BV(\Omega)$.

研究の動機と目的

• 一般の測度空間設定における BV 関数のトレース空間を同定すること。
• Besov 空間 B01,1(∂Ω) から BV(Ω) への有界な線形拡張作用素を構成すること。
• L1(∂Ω) から BV(Ω) への有界な非線形拡張作用素を構成すること。
• 領域に自然な幾何的・解析的条件が整っている場合に、BV(Ω) のトレース空間が正確に L1(∂Ω) に一致することを確立すること。

提案手法

• 領域 Ω のホイットニー型分割を用いて、境界に適合した partition of unity を定義する。
• 切り捨てられた境界関数の重み付き拡張の和として、拡張作用素 F を定義する。
• 上付き勾配の積の法則を適用して、拡張関数の全 Variation を推定する。
• 境界 ∂Ω の余次元1アーフォルス正則性と測度の二重化性を用いて、トレースノルムを制御する。
• 1-ポincare不等式と測度密度条件を用いて、トレースの存在性と有界性を保証する。
• 先行研究 [30] のトレース定理を適用し、構築した拡張作用素がトレースの意味で元の関数を回復することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の測度空間で境界が正則な場合、BV(Ω) の正確なトレース空間は何か？
• RQ2 ∂Ω 上の任意の L1 関数が、同じトレースを持つ BV(Ω) 関数に拡張可能か？
• RQ3 B01,1(∂Ω) から BV(Ω) への有界な線形拡張作用素は存在するか？
• RQ4 L1(∂Ω) から BV(Ω) への拡張が線形に可能か？もし不可能なら、その理由は何か？
• RQ5 どのような幾何的・解析的条件下で、トレース作用素 T: BV(Ω) → L1(∂Ω) が全射となるか？

主な発見

• Ω が二重化測度空間に含まれる有界な領域であり、1-ポincare不等式を満たし、測度密度条件 (1.5) を満たし、余次元1アーフォルス正則境界を持つとき、BV(Ω) のトレース空間は正確に L1(∂Ω) に一致する。
• T∘E が B01,1(∂Ω) 上の恒等写像となるような、有界な線形拡張作用素 E: B01,1(∂Ω) → BV(Ω) が存在する。
• T∘Ext が L1(∂Ω) 上の恒等写像となるような、有界な非線形拡張作用素 Ext: L1(∂Ω) → BV(Ω) が存在する。
• 反例および先行結果 [34, 35] により、L1(∂Ω) から BV(Ω) への拡張は線形に不可能であることが示された。
• 構成はホイットニー型被覆と partition of unity を用いて、拡張関数の全 Variation を制御することに依存する。
• 拡張関数 F のトレースは、L1 平均収束を用いて、H-ほとんど everywhere で元の関数 f ∈ L1(∂Ω) を回復する。