[論文レビュー] Traces, Ultrapowers and the Pedersen-Petersen C*-Algebras

Tristan Bice, Ilijas Farah|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、C*-代数の超冪におけるすべてのトレースが、元の代数上のトレースの超極限として生じるわけではないことを示している。特に、元の代数が有限個のトレースしか持たない場合でさえも、そのような反例が存在する。主な結果は、C*-代数が無限個の極小トレースをもつならば、その超冪は元の代数からのトレースのυ-極限でないトレースを含み、このようなトレースは$2^{2^{ egthinspace\aleph_0}}$の濃度を持つ家族を形成することを示している。これは、Pedersen-Petersen C*-代数において、任意に大きな$n$に対して$n+1$個のが*-交換子として表せないが$n$個の*-交換子として表せない演算子が存在することを示しており、構造的複雑性の深さを強調している。

ABSTRACT

Our motivating question was whether all traces on a U-ultrapower of a C*-algebra A, where U is a non-principal ultrafilter on N, are necessarily U-limits of traces on A. We show that this is false so long as A has infinitely many extremal traces, and even exhibit a 2^c size family of such traces on the ultrapower. For this to fail even when A has finitely many traces implies that A contains operators that can be expressed as sums of n+1 but not n *-commutators, for arbitrarily large n. We show that this happens for a direct sum of Pedersen-Petersen C*-algebras, and analyze some other interesting properties of these C*-algebras.

研究の動機と目的

• C*-代数$A$の超冪$A^{\mathcal{U}}$におけるすべてのトレースが、$A$上のトレースの$υ$-極限として生じるかどうかを調べること。これは、作用素代数における分類問題に動機づけられている。
• 超冪上のトレースが自明でない（すなわち、$A$上のトレースの$υ$-極限でない）場合の条件を特定すること。
• Pedersen-Petersen C*-代数の構造を分析し、それらが超冪上での非自明なトレースを生成する役割を明らかにすること。
• 特に、*-交換子と一般の自己共役交換子との間の関係を、C*-代数における交換子構造とトレース性質の関係として探求すること。

提案手法

• 非主な超フィルターを用いた$\mathbb{N}$上での$A^\mathcal{U}$の構成を含む、C*-代数における超冪構成の利用。$l^\infty(A)$と$c_\mathcal{U}(A)$の性質を活用する。
• トレース空間と商空間の双対性の応用、特に$A^q = A_{\mathrm{sa}}/A_0$において$A_0$は*-交換子の張る閉包である。
• 無限個の極小トレーシング状態をもつC*-代数$A$の構成により、$A^{q\mathcal{U}}$が反射的でないことを示し、$A^{*\mathcal{U}} \subsetneq A^{\mathcal{U}*}$を示唆する。
• 自己共役トレーシング汎関数のジョルダン分解と、相対可換束$A^\mathcal{U} \cap A'$の構造を用いてトレース拡張を分析する。
• ユニタリ作用素$U$と$V$がランク1射影に作用するのを用いて、$\mathfrak{P}_1$に属する自己共役交換子が*-交換子でない明示的構成。
• $C(S^2, M_2)$のバンドル構造と$U(2)$-バンドルとの比較により、異なるバンドルから生じるC*-代数が同型でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分なC*-代数$A$の超冪$A^\mathcal{U}$におけるすべてのトレースが、$A$上のトレースの$\mathcal{U}$-極限として生じるか？
• RQ2 有限個のトレースしか持たないC*-代数であっても、その超冪上のトレースが$A$上のトレースの$\mathcal{U}$-極限でないものは存在するか？
• RQ3 C*-代数における自己共役交換子が*-交換子でないことは可能か？
• RQ4 $\mathfrak{c}^*(A) \subsetneq \mathfrak{c}(A)_{\mathrm{sa}}$の包含関係が、あるC*-代数$A$で真に成り立つか？
• RQ5 $n \in \mathbb{N}$に対して、包含関係$\mathfrak{c}_n^*(A) \subseteq \mathfrak{c}_n(A)_{\mathrm{sa}} \subseteq \mathfrak{c}_{2n}^*(A)$が、あるC*-代数$A$で真に成り立つか？

主な発見

• 無限個の極小トレーシング状態をもつC*-代数$A$が存在し、$A^{\mathcal{U}}$が$A$上のトレースの$\mathcal{U}$-極限でないトレースを含む。これは、すべての超冪上のトレースが自明であるという予想を反証する。
• このような超冪上の非自明なトレースの族の濃度は$2^{2^{\aleph_0}}$であり、自明な極限を超える広大で非自明なトレース構造を示している。
• もし$A$が有限個のトレースをもつが、依然として$A^\mathcal{U}$上で非自明なトレースをもつならば、$A$は任意に大きな$n$に対して$n+1$個のが*-交換子として表せないが$n$個の*-交換子として表せない演算子を含む。
• Pedersen-Petersen C*-代数$\mathfrak{P}_1$において、*-交換子でない自己共役交換子が存在し、$\mathfrak{c}^*(\mathfrak{P}_1) \subsetneq \mathfrak{c}(\mathfrak{P}_1)_{\mathrm{sa}}$が成り立つ。
• $\mathfrak{P}_1$は、任意のランク2射影$P$に対して$PC(S^2, M_2)P$と同型でない。これは、$U(2)$-バンドルと$SU(2)$-バンドルから生じるバンドルが同型でないためである。
• $\mathfrak{c}(A)_{\mathrm{sa}} \subseteq \mathfrak{c}^*(A) + \mathfrak{c}^*(A)$の包含関係は、2つの*-交換子の和として表せない自己共役交換子の存在によって、真に成り立つことがある。