[論文レビュー] Tractable semi-algebraic approximation using Christoffel-Darboux kernel

Swann Marx, Edouard Pauwels+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Model Reduction and Neural Networks被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヤング測度の有限個のモーメントから、有界可測関数（滑らかでも不連続でも）を再構成するための、Christoffel-Darbouxカーネルを用いた新しい半代数的近似法を提案する。この手法は、多項式最適化を用いて一様に定義された近似関数を構築し、弱い仮定のもとで本質的に至る点での収束およびL¹収束を達成し、明示的な収束速度をもつ。また、不連続な場合においても、実験的にギブス現象を回避することが示された。

ABSTRACT

We provide a new method to approximate a (possibly discontinuous) function using Christoffel-Darboux kernels. Our knowledge about the unknown multivariate function is in terms of finitely many moments of the Young measure supported on the graph of the function. Such an input is available when approximating weak (or measure-valued) solution of optimal control problems, entropy solutions to non-linear hyperbolic PDEs, or using numerical integration from finitely many evaluations of the function. While most of the existing methods construct a piecewise polynomial approximation, we construct a semi-algebraic approximation whose estimation and evaluation can be performed efficiently. An appealing feature of this method is that it deals with non-smoothness implicitly so that a single scheme can be used to treat smooth or non-smooth functions without any prior knowledge. On the theoretical side, we prove pointwise convergence almost everywhere as well as convergence in the Lebesgue one norm under broad assumptions. Using more restrictive assumptions, we obtain explicit convergence rates. We illustrate our approach on various examples from control and approximation. In particular we observe empirically that our method does not suffer from the the Gibbs phenomenon when approximating discontinuous functions.

研究の動機と目的

• ヤング測度の有限個のモーメントのみを用いて、有界可測関数を統一的かつ実行可能に近似する手法の開発。
• 事前の知識や区分的構成なしに、滑らかでない、あるいは不連続な関数を近似する課題への対処。
• 広範な仮定のもとで、提案された近似スキームの本質的に至る点での収束およびL¹ノルムでの収束保証の提供。
• 最適制御および双曲型PDEの弱解を含む問題において、手法のロバスト性と精度の実証。
• 不連続関数近似において、実験的にギブス現象が回避されることの示唆。

提案手法

• 関数のヤング測度のモーメント行列に関連する直交多項式から導かれるChristoffel-Darbouxカーネルを用いる。
• 正の多項式の最小値の引数として、半代数的近似関数を構築し、関数近似をサポート推定問題に効果的に変換する。
• 測度のサポートを関数のグラフ上に推定するために、凸最適化問題（半正定値計画）を解く。
• 近似関数は、モーメントに基づく最適化の解として暗黙的に定義され、効率的な推定と評価を可能にする。
• モーメント行列の安定化と数値的条件の改善のため、正則化を適用する。
• 事前のセグメンテーションや区分的モデリングを必要とせず、滑らかでない関数を一様に扱える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限のモーメントデータのみを用いて、滑らかでも不連続でもある関数を一様に定義された近似スキームが処理可能か。
• RQ2 有界 Variation を持つ関数、あるいは不連続性を有する関数に対して、提案された半代数的近似関数の収束性能はいかほどか。
• RQ3 本手法が不連続関数近似においてギブス現象を回避する理由は何か。その背後にある幾何的・解析的性質は何か。
• RQ4 モーメントデータに小さな摂動が加わった場合、手法のロバストネスはどの程度か。
• RQ5 本手法を、フーリエ係数など、低次の部分的モーメント情報のみを用いて拡張可能か。

主な発見

• 広範な仮定のもとで、本質的に至る点での収束およびルベーグのL¹ノルムでの収束を達成している。これは、有界変動関数に対しても成立する。
• より制限の厳しい仮定のもとで、近似誤差の明示的な収束速度が確立されている。
• 数値実験により、衝撃を伴う場合ですら、不連続関数近似においてギブス現象を示さないことが示された。
• モーメントデータの誤差が約10⁻⁸のオーダーである場合、最適制御およびPDE問題において、半代数的近似関数は解析解に非常に近い結果を達成した。
• モーメントデータが10⁻⁴の誤差まで汚染された場合でも、バーガース方程式における衝撃の伝播を正確に回復でき、ロバストネスを示した。
• 最適制御および双曲型PDEにおけるモーメント緩和から、軌道や解の再構成に成功し、不連続性を扱う際に従来の区分的多項式スキームを上回る性能を示した。