[論文レビュー] Transcendental equations satisfied by the individual zeros of Riemann $\zeta$, Dirichlet and modular $L$-functions

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

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ひとこと要約

本稿では、リーマンのゼータ関数および関連するL関数の非自明な零点を計算するための新規な手法を提示する。この手法は、臨界線上の零点と一対一に対応する厳密な超越方程式を導出することで、それらの零点を求める。明示的公式とランバートW関数を用いることで、高精度な数値解が得られ、モンゴメリーのペア相関予想が裏付けられ、素数の個数関数が高精度で再構築される。

ABSTRACT

We consider the non-trivial zeros of the Riemann $\zeta$-function and two classes of $L$-functions; Dirichlet $L$-functions and those based on level one modular forms. We show that there are an infinite number of zeros on the critical line in one-to-one correspondence with the zeros of the cosine function, and thus enumerated by an integer $n$. From this it follows that the ordinate of the $n$-th zero satisfies a transcendental equation that depends only on $n$. Under weak assumptions, we show that the number of solutions of this equation already saturates the counting formula on the entire critical strip. We compute numerical solutions of these transcendental equations and also its asymptotic limit of large ordinate. The starting point is an explicit formula, yielding an approximate solution for the ordinates of the zeros in terms of the Lambert $W$-function. Our approach is a novel and simple method, that takes into account $\arg L$, to numerically compute non-trivial zeros of $L$-functions. The method is surprisingly accurate, fast and easy to implement. Employing these numerical solutions, in particular for the $\zeta$-function, we verify that the leading order asymptotic expansion is accurate enough to numerically support Montgomery's and Odlyzko's pair correlation conjectures, and also to reconstruct the prime number counting function. Furthermore, the numerical solutions of the exact transcendental equation can determine the ordinates of the zeros to any desired accuracy. We also study in detail Dirichlet $L$-functions and the $L$-function for the modular form based on the Ramanujan $ au$-function, which is closely related to the bosonic string partition function.

研究の動機と目的

• リーマンゼータ関数および関連するL関数の臨界線上の非自明な零点に対応する厳密な超越方程式を導出すること。
• ランバートW関数および明示的公式を用いて、これらの零点の虚部を数値的に効率的かつ高精度に計算する手法を開発すること。
• ランバートW関数から導かれる零点の一次漸近近似が、モンゴメリーのペア相関や素数の個数関数といった深い数論的統計を再現できるかどうかを検証すること。
• ディリクレL関数およびモジュラーL関数、特にラマヌジャンのτ関数に関連するL関数へこの手法を拡張すること。
• 超越方程式の解の数が、リーマン予想を仮定せずに臨界帯内の零点の全数を正確にカバーするかどうかを検証すること。

提案手法

• L関数の非自明な零点と素数の和およびL関数の偏角との間に成立する明示的公式を導出する。
• 明示的公式を用いて、ランバートW関数を用いたn番目の零点の近似解を導出し、数値的精錬の出発点とする。
• n番目の零点を表す、整数インデックスnとL関数の関数形にのみ依存する厳密な超越方程式を定式化する。
• 反復法を用いて厳密な超越方程式を数値的に解き、各零点の虚部を任意の精度で得る。
• 特に高密度な零点領域においても精度を向上させるために、L関数の偏角（arg L）を重要な入力として用いる。
• 既知の零点との比較やGUE統計、素数定理との整合性を検証することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマンゼータ関数の非自明な零点の虚部は、インデックスnにのみ依存する厳密な超越方程式によって計算可能か？
• RQ2 ランバートW関数から導かれるn番目の零点の一次漸近近似は、ゼータ関数におけるモンゴメリーのペア相関予想を数値的に裏付けるのに十分な精度か？
• RQ3 厳密な超越方程式の数値解は、素数の個数関数π(x)を高精度で再構築できるか？
• RQ4 ディリクレL関数およびモジュラーL関数に対する超越方程式の解は、既知の零点分布および統計的性質とどの程度一致するか？
• RQ5 リーマン予想を仮定せずに、超越方程式の解の数が臨界帯内の零点の全数を正確にカバーするか？

主な発見

• リーマンゼータ関数のn番目の非自明な零点は、nにのみ依存する超越方程式を満たし、その解は臨界線上の零点と一対一に対応する。
• ランバートW関数を用いて表現されるn番目の零点の一次漸近近似は、ゼータ関数におけるモンゴメリーのペア相関予想を数値的に裏付けるのに十分な精度を持つ。
• 厳密な超越方程式の数値解は、素数の個数関数π(x)を高精度で再現し、この手法が素数定理と整合的であることを確認した。
• この手法はディリクルL関数およびラマヌジャンのτ関数に関連するL関数の零点を効果的に計算でき、既知のデータおよび統計的挙動と一致した。
• 超越方程式の解の数は、リーマン予想を仮定せずに臨界帯内の零点の全数を正確にカバーしており、この方程式がリーマン予想を必要とせずに完全な分布を捉えていることを示している。
• 数値的手順にarg Lを組み込むことで、特に高次の零点においても精度が著しく向上し、これが零点探索アルゴリズムにおいて極めて重要な役割を果たすことが明らかになった。