[論文レビュー] Transfer operators and Hankel transforms between relative trace formulas

Yiannis Sakellaridis|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、非可換調和解析における函手的関係を実現する、ヘンケル変換に従い、アーベル的構造を示す相対的トレース公式（RTF）間のアーベル的転送作用素を導入する。これらは、エンドスコピックなスカラー転送因子を一般化し、ポアソン和分公式を用いたグローバル比較を可能にする。特に、Kuznetsovの公式と対称平方L関数との間の関係が、明示的なヘンケル作用素によって記述されることを示している。

ABSTRACT

The Langlands functoriality conjecture, as reformulated in the beyond endoscopy program, predicts comparisons between the (stable) trace formulas of different groups $G_1, G_2$ for every morphism ${^LG}_1 o {^LG}_2$ between their $L$-groups. This conjecture can be seen as a special case of a more general conjecture, which replaces reductive groups by spherical varieties and the trace formula by its generalization, the relative trace formula (RTF). The goal of this article is to demonstrate, by example, the existence of betweeen RTFs, that generalize the scalar transfer factors of endoscopy. These transfer operators have all properties that one could expect from a trace formula comparison: matching, fundamental lemma for the Hecke algebra, transfer of (relative) characters. Most importantly, and quite surprisingly, they appear to be of abelian nature, even though they encompass functoriality relations of non-abelian harmonic analysis. Thus, they are amenable to application of the Poisson summation formula in order to perform the global comparison. Moreover, we show that these abelian transforms have some structure as deformations of well-understood operators when the spaces under consideration are replaced by their asymptotic cones. In the article, we develop the local theory behind Rudnick's 1990 thesis (comparing the stable trace formula for $SL_2$ with the Kuznetsov formula) and Venkatesh's 2002 thesis (providing a beyond endoscopy proof of functorial transfer from tori to $GL_2$). As it turns out, the latter is not completely disjoint from endoscopic transfer. We also study the functional equation of the symmetric-square $L$-function for $GL_2$, and show that it is governed by an explicit Hankel operator at the level of the Kuznetsov formula, which is also of abelian nature. Most of our proofs rely on Rankin--Selberg theory.

研究の動機と目的

• 相対的トレース公式（RTF）の比較のための一般化された枠組みを確立すること。この枠組みは、エンドスコピック転送因子を一般化する転送作用素を含む。
• これらの転送作用素が、非可換函手的関係を記述しているにもかかわらず、本質的にアーベル的であることを示すこと。
• エンドスコピズム以降のプログラムにおいて、Rudnick（1990）とVenkatesh（2002）の局所理論を統合・拡張すること。
• GL₂における対称平方L関数の関数等式が、Kuznetsovの公式のレベルでヘンケル作用素によって支配されることを示すこと。
• ランキン＝セルバーグ法を用いたグローバル比較を支援する体系的な局所理論を提供すること。

提案手法

• エンドスコピズムの枠組みを球的多様体へと拡張し、RTF間の転送作用素の局所理論を構築する。
• ランキン＝セルバーグ理論を用いて、転送作用素の性質（一致、基本補題、特性の転送など）を導出し、検証する。
• 転送作用素のアーベル的性質を活かし、グローバル比較にポアソン和分公式を適用する。
• 基礎となる空間の漸近的コーンを分析し、既知の作用素の変形を理解する。
• 対称平方L関数の関数等式が、Kuznetsovの公式上でのヘンケル作用素の作用によって生じることを同定する。
• 明示的な転送機構を通じて、SL₂のRTFとKuznetsovの公式との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的トレース公式間の転送作用素をどのように構成すれば、エンドスコピック転送を一般化できるか？
• RQ2 これらの転送作用素が持つ構造的性質は何か。特に、アーベル的調和解析と非可換調和解析との関係においては？
• RQ3 エンドスコピズム以降のプログラムは、RudnickとVenkateshの局所理論をどの程度統合するか？
• RQ4 GL₂における対称平方L関数の関数等式は、Kuznetsovの公式にどのように埋め込まれているか？
• RQ5 アーベル的転送作用素を用いたグローバル比較において、ポアソン和分公式を効果的に適用できるか？

主な発見

• 相対的トレース公式間の転送作用素は本質的にアーベル的であり、グローバル比較にポアソン和分公式を適用可能にする。
• これらの作用素はエンドスコピックのスカラー転送因子を一般化し、一致、基本補題、特性の転送といった性質を満たす。
• GL₂における対称平方L関数の関数等式は、Kuznetsovの公式のレベルで明示的なヘンケル作用素によって支配されている。
• 局所理論はRudnick（1990）とVenkatesh（2002）の結果を統合・拡張し、エンドスコピック転送とは重複しないことを示している。
• 転送作用素の変形は、基礎となる球的多様体の漸近的コーン上の構造に対応する。
• ランキン＝セルバーグ理論は、転送作用素の主要な性質を導出し、検証するための基盤を提供する。