[論文レビュー] Transformations of one-dimensional Gibbs measures with infinite range interaction

Frank Redig, Feijia Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一様性の成立領域において、無限範囲相互作用を有する一次元ギブス測度に対して、単一サイトの確率的および決定的変換がギブス性を保存することを確立する。カップリング技法とコズロフのポテンシャル推定を用いて、初期相互作用の減衰率に応じて、変換後のポテンシャルが指数的またはべき乗的減衰を示すことを証明する。一様性条件により、変換下でのギブス性の安定性が保証される。

ABSTRACT

We study single-site stochastic and deterministic transforma- tions of one-dimensional Gibbs measures in the uniqueness regime with infinite-range interactions. We prove conservation of Gibbsianness and give quantitative estimates on the decay of the transformed potential. As examples, we consider exponentially decaying potentials, and potentials decaying as a power-law.

研究の動機と目的

• 無限範囲相互作用を有する一次元系における単一サイト変換（確率的または決定的）が、ギブス性を保存するかどうかを調査すること。
• 特に指数的減衰およびべき乗的減衰を示す初期相互作用に対して、変換後のポテンシャルの減衰率に関する定量的推定を確立すること。
• ディスagreement percolationが失敗する有限範囲相互作用を超えたギブス性保存の理論を拡張すること。
• 空間的に変化する磁場が非一様ギブス測度における局所的期待値に与える影響を理解するための厳密な枠組みを提供すること。
• 一様性の領域が、長距離相互作用を伴う場合でも、局所的変換下でのギブス性の安定性を保証することを示すこと。

提案手法

• 変換後の相互作用を格子区間上で表現するためのコズロフのポテンシャル形式を用い、減衰性質の解析を可能にする。
• 条件付き確率が、境界条件と磁場の空間的変動に起因するギブス測度における局所関数の期待値として表現されることを示す。
• 参考文献[2]にインspiredされたカップリング技法を用いて、局所的期待値が境界条件および磁場に依存する度合いを制御する。
• 無限範囲相互作用に適応した、ディスアゲリメント・パーコレーションに類似した議論を用い、カップリング確率に指数的またはべき乗的バウンドを適用する。
• 局所近似の擬局所性および一様収束性に依存して、有限体積と無限体積の期待値の差を制御する。
• 局所関数の変動（δig）の推定を用いて、異なる境界条件の下での期待値の差をバウンドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限範囲相互作用を有する一次元ギブス測度に対して、単一サイトの確率的変換がギブス性を保存するか？
• RQ2 初期相互作用が指数的に減衰する場合、変換後の測度のポテンシャルに対する定量的減衰推定は得られるか？
• RQ3 初期相互作用が指数α > 2のべき乗的に減衰する場合、変換後のポテンシャルの減衰率はどのように変化するか？
• RQ4 条件付けに起因する空間的に変化する磁場が、有限体積ギブス期待値の無限体積極限への収束に与える影響は何か？
• RQ5 ディスアゲリメント・パーコレーションが失敗する無限範囲相互作用に対して、カップリング法をどのように適応できるか？

主な発見

• 一様性条件のもとで、変換後の測度は無限範囲相互作用を伴ってもギブス的である。
• 初期ポテンシャルが指数的に減衰する場合、変換後のポテンシャルも指数的に減衰し、その減衰率は定量的に制御可能である。
• 指数α > 2のべき乗的減衰を示す相互作用に対しては、変換後のポテンシャルは指数α − 2のべき乗的に減衰し、これはより小さいが依然として可積分である。
• 変換後のポテンシャルの減衰は、区間上で定義されるコズロフのポテンシャルを介して推定され、長距離効果の精密な制御が可能である。
• カップリング技法により、異なる境界条件の下での条件付き確率の差に指数的またはべき乗的バウンドが得られ、初期相互作用の減衰率に依存する。
• この手法により、局所的期待値が無限体積極限に一様に収束し、誤差バウンドがそれぞれ指数的にまたはべき乗的に減衰することが保証される。