[論文レビュー] Translation lengths in Out(F_n)

Emina Alibegović|ArXiv.org|Sep 20, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathrm{Out}(F_n)$ のすべての無限位数外部自己同型が、正の移動長を持つことを証明している。その移動長は、$\varepsilon_n > 0$ であるような定数によってゼロから一様に離れている。証明は、自己同型の反復における語長不変量 $\tilde{\alpha}$ の成長に、有界キャンセレーションと分割の議論を組み合わせ、$\mathrm{Out}(F_n)$ のすべての無限位数元における移動長の一様な正の性質を確立する。

ABSTRACT

We prove that all elements of infinite order in $Out(F_n)$ have positive translation lengths; moreover, they are bounded away from zero. Consequences include a new proof that solvable subgroups of $Out(F_n)$ are finitely generated and virtually abelian and the new result that such subgroups are quasi-convex.

研究の動機と目的

• すべての無限位数元 $\mathcal{O} \in \mathrm{Out}(F_n)$ が正の移動長を持つことを確立すること。
• この移動長が、$n$ のみに依存する定数 $\varepsilon_n > 0$ によって一様にゼロから離れていることを示すこと。
• 可解部分群が $\mathrm{Out}(F_n)$ で有限生成かつ本質的にアーベルであるという事実の、移動長を用いた新しい証明を提供すること。
• アーベル部分群が $\mathrm{Out}(F_n)$ で準凸であるという新しい結果を確立すること。

提案手法

• 語長不変量 $\alpha(w)$ を、$\tilde{w}^p$ が既約語 $w$ の部分語として現れる最大の指数 $p$ として定義し、$\tilde{\alpha}([w])$ を共役類に沿って拡張する。
• 有界キャンセレーション補題を用いて、$\tilde{g} \in \widetilde{Y}$ である生成子について、$\tilde{\alpha}(\tilde{g}([w])) \leq \tilde{\alpha}([w]) + C$ が成り立つことを示し、ここで $C$ は一様な定数である。
• 外部自己同型のトレイン・トラック代表元における作用を分析し、指数関数的に成長するタイプと UPG（ユニポテンチアル・多項式的成長）タイプに区別する。
• 指数関数的に成長する自己同型に対しては、循環語長 $\ell(\mathcal{O}^k([w])) \geq \lambda^k \ell([w])$ の指数関数的成長（$\lambda > 1$）を用い、$\mathcal{O}^k$ を表現するのに必要な生成子の数を評価する。
• UPG 自己同型に対しては、閉路 $\sigma$ 沿いでの $\tilde{\alpha}(\mathcal{O}^k(\sigma)) \geq k + b$ の成長を用い、合成における $\tilde{\alpha}$ の有界成長を適用して、語長に対する線形下界を得る。
• 一般の多項式的成長自己同型に対しては、$s$ が有界な範囲で $\mathcal{O}^s$ に還元し、$\tau(\mathcal{O}) = \frac{1}{s} \tau(\mathcal{O}^s)$ を用いて下界を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{Out}(F_n)$ のすべての無限位数元が正の移動長を持つだろうか？
• RQ2 そのような元の移動長は、$n$ のみに依存する定数によって一様にゼロから離れているだろうか？
• RQ3 移動長の議論を用いて、$\mathrm{Out}(F_n)$ の可解部分群の構造を再証明できるだろうか？
• RQ4 アーベル部分群は $\mathrm{Out}(F_n)$ の語距離において準凸であろうか？
• RQ5 $\mathrm{Out}(F_n)$ に交差数が存在しない場合、$\tilde{\alpha}$ のような組合せ的不変量が成長を制御するために補完できるだろうか？

主な発見

• すべての無限位数元 $\mathcal{O} \in \mathrm{Out}(F_n)$ は、$\varepsilon_n > 0$ である定数 $\varepsilon_n$ に依存する正の移動長 $\tau(\mathcal{O}) \geq \varepsilon_n > 0$ を持つ。
• 指数関数的に成長する自己同型に対しては、$\tau(\mathcal{O}) \geq \frac{\log \lambda}{\log 2} > 0$ が成り立ち、$\lambda > 1$ は指数関数的成長率である。
• UPG 自己同型に対しては、$\tau(\mathcal{O}) \geq \frac{1}{C}$ が成り立ち、ここで $C$ は合成における $\tilde{\alpha}$ の有界成長から得られる一様な定数である。
• 一般の多項式的成長自己同型に対しては、$\tau(\mathcal{O}) \geq \frac{1}{C \cdot c_2} > 0$ が成り立ち、$c_2$ は $\mathcal{O}^s$ が UPG となるような $s$ の上界である。
• この結果により、$\mathrm{Out}(F_n)$ のすべての可解部分群が有限生成かつ本質的にアーベルであることが示され、既知の事実の新しい証明が得られる。
• アーベル部分群が $\mathrm{Out}(F_n)$ で準凸であることは、移動長の一様な正の性質によって確立された新しい結果である。