[論文レビュー] Translation of Einstein's Attempt of a Unified Field Theory with Teleparallelism

Alexander Unzicker, Timothy Case|ArXiv.org|Mar 6, 2005

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 97

ひとこと要約

この論文は、アインシュタインの1925年の予備的論文である、テレパラレル統一場理論に関する初の英語翻訳を提示している。この理論は、非対称な接続係数と非対称な計量テンソル密度を用いて、重力と電磁気を統一することを試みるものである。理論は一次近似でポアソンの重力方程式とマクスウェルの電磁気方程式を回復するが、粒子の運動方程式の完全な式が欠落している点に注意を喚起している。

ABSTRACT

We present the first English translation of Einstein's original papers related to the teleparallel ('absolute parallelism', 'distant parallelism' and the German 'Fernparallelismus' are synonyms) attempt of an unified field theory of gravitation and electromagnetism. Our collection contains the summarizing paper in Math. Annal. 102 (1930) pp. 685-697 and 2 reports published in 'Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften' on June 7th, 1928 (pp. 217-221), June 14th, 1928 (pp. 224-227) and a precursor report (July 9th, 1925 pp. 414-419). To ease understanding, literature on tensor analysis is quoted in the footnotes.

研究の動機と目的

• アインシュタインの1925年のテレパラレル統一場理論に関するオリジナルの会議報告の初の英語翻訳を提供すること。
• 非対称なアフィン接続と非対称な計量テンソル密度を用いた重力と電磁気の統一を試みたアインシュタインの試みを明確にすること。
• 理論が一次近似でニュートンの重力とマクスウェルの電磁気を再現することを示すこと。
• 現代の統一場理論および一般相対性理論の研究者に向け、元の数式的定式化と導出を保存・提示すること。

提案手法

• アインシュタインは、非対称な接続係数 $\Gamma_{\alpha\beta}^\mu$ を持つ4次元時空を定式化し、非対称な曲率テンソルを許容する。
• 彼は反変テンソル密度 $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$ を導入し、リーマン曲率と接続係数からスカラー密度 $\mathfrak{H} = \mathfrak{g}^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ を構成する。
• 作用積分 $\mathcal{J} = \int \mathfrak{H} \, dx^1 dx^2 dx^3 dx^4$ の変分が $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$ と $\Gamma_{\alpha\beta}^\mu$ を独立変数としてそれぞれ0になるように、場の運動方程式を導出する。
• 得られた方程式には $R_{\mu\nu} = 0$ と、64個の式（5）が含まれており、これらはテンソル密度とトレース条件を用いて構造を簡略化するために再構成される。
• テンソル密度 $\mathfrak{f}^\mu$ を導入し、対称性とトレースの性質を活用することで、より簡潔な形（10）の場の運動方程式に再定式化され、追加の制約（7）が導入される。
• 一次近似において、$h_{s\nu} = \delta_{s\nu} + \bar{h}_{s\nu}$ を用いて計量の摂動 $\bar{h}_{\mu\nu}$ を導入し、線形化された方程式が重力的および電磁気的成分に分離される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テレパラレル主義に基づく統一場理論は、一次近似でニュートンの重力とマクスウェルの電磁気を両方とも再現できるか？
• RQ2 非対称なアフィン接続と非対称な計量テンソル密度は、重力と電磁気を統一するためにどのように寄与するか？
• RQ3 テンソル密度 $\mathfrak{f}^\mu$ は、場の運動方程式の簡略化と整合性の確保において果たす役割は何か？
• RQ4 既知の場の法則を回復しているにもかかわらず、なぜ理論は点粒子の運動方程式を完全に得られていないのか？
• RQ5 座標変換は線形化された場の運動方程式の共変性にどのように影響するか？

主な発見

• 変分原理から導かれた場の運動方程式は $R_{\mu\nu} = 0$ と、トレースおよび対称性の制約の下で一貫性のある集合に簡略化される64個の式を含む。
• 一次近似において、計量化の対称的成分 $\bar{g}_{\alpha\mu}$ は $\bar{g}_{\alpha\mu,\sigma\sigma} = 0$ および $\bar{g}_{\alpha\mu,\mu} = 0$ を満たし、重力のポアソン方程式に対応する。
• 反対称的成分 $a_{\alpha\mu}$ は $a_{\alpha\mu,\sigma\sigma} = 0$ および $a_{\alpha\mu,\mu} = 0$ を満たし、真空中のマクスウェル方程式に対応する。
• 理論は線形かつ直交的な座標変換に対して共変性を示し、$\bar{h}_{\alpha\mu}$、$\bar{g}_{\alpha\mu}$、$a_{\alpha\mu}$ に対してテンソル変換則が保たれる。
• 線形化された極限における重力的および電磁気的場の分離は、これらの力の観測上の独立性を支持するが、アインシュタインは完全理論ではそれらが真に分離可能ではないと指摘している。
• 既知の場の法則を回復しているにもかかわらず、点粒子の整合的な運動方程式が欠落しているため、理論は未完成のままである。