[論文レビュー] Transport equation with nonlocal velocity in Wasserstein spaces: existence, uniqueness and numerical schemes

Benedetto Piccoli, Francesco Rossi|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Wasserstein空間における非局所的速度を伴う輸送方程式を研究し、ラグランジュ的およびオイラー的数値スキームの収束を用いて解の存在および一意性を証明する。収束はWasserstein距離に関して示され、$L^1$空間が解の一意性を失うため不適切であることが示される。

ABSTRACT

Motivated by pedestrian modelling, we study evolution of measures in the Wasserstein space. In particular, we consider the Cauchy problem for a transport equation, where the velocity field depends on the measure itself. We deal with numerical schemes for this problem and prove convergence of a Lagrangian scheme to the solution, when the discretization parameters approach zero. We also prove convergence of an Eulerian scheme, under more strict hypotheses. Both schemes are discretizations of the push-forward formula defined by the transport equation. As a by-product, we obtain existence and uniqueness of the solution. All the results of convergence are proved with respect to the Wasserstein distance. We also show that $L^1$ spaces are not natural for such equations, since we lose uniqueness of the solution.

研究の動機と目的

• 非局所的速度を伴う輸送方程式の解の存在および一意性をWasserstein空間で確立すること。
• 問題に対してラグランジュ的およびオイラー的数値スキームを構築および分析すること。
• 離散化パラメータがゼロに近づく際、両方のスキームが真の解に収束することを証明すること。
• $L^1$空間が解の一意性を失うため、この文脈で不適切であることを示すこと。
• Wasserstein距離を用いた厳密な収束解析を提供すること。

提案手法

• 速度場が測度そのものに依存する輸送方程式のコーシー問題を、押し出し（push-forward）公式を用いて定式化する。
• 粒子追跡と時間離散化に基づくラグランジュスキームを提案し、一般条件の下で収束を証明する。
• 有限体積法または有限差分法を用いたオイラースキームを導入し、速度場および初期データに関する stricter 仮定の下で収束を確立する。
• 収束解析のための度量としてWasserstein距離を適用し、測度空間における安定性および一貫性を保証する。
• 輸送方程式の押し出し構造を活用して、Wasserstein空間の幾何的構造を保つ数値離散化を導出する。
• コンパクト性および弱収束の議論を用いて、スキームが一意な解に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的輸送方程式がWasserstein空間で解を有し、それが一意であるか？
• RQ2 最小限の仮定の下でラグランジュスキームが解に収束するか？
• RQ3 オイラースキームが解に収束するための条件は何か？
• RQ4 なぜ$L^1$空間はこの文脈で解の一意性を保てないのか？
• RQ5 Wasserstein距離は数値スキームの収束性および安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非局所的輸送方程式の解の存在および一意性が、数値スキームの収束を用いてWasserstein空間で確立される。
• 時間および空間の離散化パラメータがゼロに近づく際、一般仮定の下でラグランジュスキームが解に収束する。
• オイラースキームについても収束が成立するが、速度場および初期データに関するより強い仮定を要する。
• 収束はWasserstein距離に関して証明され、測度空間におけるロバスト性が保証される。
• $L^1$空間がこの方程式のクラスには不適切であることが示され、解の一意性の喪失を引き起こす。
• 押し出し公式は、一貫性および収束性を持つ数値スキームを構築するための幾何的基盤を提供する。