[論文レビュー] Transversality theory, cobordisms, and invariants of symplectic quotients

Shaun Martin|ArXiv.org|Jan 1, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアントーラス作用から生じるシンプレクティック商の不変量を計算するためのcobordism理論的枠組みを確立する。レベル集合 μ⁻¹(p) が固定点の近傍で球面バンドルの直和とcobordantであることを示すことにより、シンプレクティック体積や楕円型微分作用素のインデックスといった不変量の明示的なコhomologicalおよびK理論的公式を導出する。これは、Duisetermaat-Heckman や Guillemin-Sternberg の結果を一般化する。

ABSTRACT

This paper gives methods for understanding invariants of symplectic quotients. The symplectic quotients considered here are compact symplectic manifolds (or more generally orbifolds), which arise as the symplectic quotients of a symplectic manifold by a compact torus. (A companion paper examines symplectic quotients by a nonabelian group, showing how to reduce to the maximal torus.) Let X be a symplectic manifold, with a Hamiltonian action of a compact torus T. The main topological result of this paper describes an explicit cobordism that exists between a symplectic quotient of X by T, and a collection of iterated projective bundles over components of the set of T-fixed-points. The characteristic classes of these bundles can be determined explicitly, and another result uses this to give formulae for integrals of cohomology classes over the symplectic quotient, in terms of data localized at the T-fixed points of X.

研究の動機と目的

• ハミルトニアントーラス作用から生じるシンプレクティック商 X//T(p) の不変量を計算する一般枠組みを構築すること。
• X//T(p) のどの不変量が μ⁻¹(p) の等変cobordism類にのみ依存するかを特定すること。
• Duisetermaat-Heckman定理や幾何学的量子化といった既知の結果を、より広いクラスの不変量へと拡張すること。
• 固定点における局所データを用いて、コhomologicalペアリングおよびK理論的インデックスの明示的公式を提供すること。

提案手法

• 等変cobordism理論を用いて、X'（安定化が有限な点の集合）における [μ⁻¹(p)] の同値類を定義する。
• モーメント写像の異なる正則値におけるシンプレクティック商の間のウォールクロッシングcobordism W/T を構成する。
• 固定点 F_i ∈ X^T の近傍で、μ⁻¹(p) が d 重積の奇数次元球面 𝒮(F_i) の互いに交わらない直和とcobordantであることを証明する。
• 方向付け理論とシンプレクティック幾何学を用いて、cobordismの境界成分への正しい方向付けを決定する。
• 等変コhomology類と商の不変量を関係付けるために、Kirwan写像 κ: H_T^*(X;ℚ) → H_T^*(X//T(p);ℚ) を適用する。
• 分解 T = T' × H を用いて一般の場合を1次元トーラスの場合に還元し、帰納的で方向付け可能かつcobordism的な議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック商 X//T(p) のどの不変量が μ⁻¹(p) の等変cobordism類にのみ依存するか。
• RQ2 固定点 F_i における局所データを用いて、コhomologicalペアリング ∫_{X//T(p)} κ(a) ⌣ κ(b) をどのように計算できるか。
• RQ3 レベル集合 μ⁻¹(p) と固定点集合 X^T の近傍の部分多様体との間の正確なcobordism関係は何か。
• RQ4 ウォールクロッシングcobordismの境界成分への方向付けが、シンプレクティック的および自然な幾何学的方向付けとどのように関係するか。

主な発見

• レベル集合 μ⁻¹(p) は、固定点 F_i ∈ X^T の近傍の小さな近傍に含まれる、d 重積の奇数次元球面 𝒮(F_i) の互いに交わらない直和とcobordantである。
• 商 𝒮(F_i)/T は、F_i 上への重み付き射影バンドルの d 重塔として記述できる orbifold である。
• コhomologicalペアリング ∫_{X//T(p)} κ(a) ⌣ κ(b) は、固定点 F_i に局所化された特性類によって完全に決定される。
• 境界成分 X//T(p₀) の方向付けは −(ω_{p₀})^k であり、X//T(p₁) の方向付けは +(ω_{p₁})^k である。これはシンプレクティック的方向付けと一致する。
• ウォールクロッシングcobordism W(X,T,μ,Z) は、1次元トーラス作用のcobordism と局所的に同値であり、一般の場合を1次元の場合に還元可能である。
• K理論的インデックス公式は、Kirwan写像およびcobordism関係のK理論的類似を用いて同様に導出可能である。