[論文レビュー] Travel time tomography with adaptive dictionaries

Michael J. Bianco, Peter Gerstoft|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所的スパarsityを用いた旅行時間トモグラフィー（LST）を提案する。これは、スローネスのパッチにおけるスパース正則化とグローバルな$β$-正則化を組み合わせ、滑らかでない構造と不連続な構造を同時にモデル化する2次元地震波逆問題手法である。データに適応する辞書学習と最大事後確率最適化を用いることで、不規則なレイトレーサー密度とノイズを含む合成スローネスマップの再構成において、従来の平滑化法や全 Variation（TV）法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We develop a 2D travel time tomography method which regularizes the inversion by modeling groups of slowness pixels from discrete slowness maps, called patches, as sparse linear combinations of atoms from a dictionary. We propose to use dictionary learning during the inversion to adapt dictionaries to specific slowness maps. This patch regularization, called the local model, is integrated into the overall slowness map, called the global model. The local model considers small-scale variations using a sparsity constraint and the global model considers larger-scale features constrained using $\ell_2$ regularization. This strategy in a locally-sparse travel time tomography (LST) approach enables simultaneous modeling of smooth and discontinuous slowness features. This is in contrast to conventional tomography methods, which constrain models to be exclusively smooth or discontinuous. We develop a $ extit{maximum a posteriori}$ formulation for LST and exploit the sparsity of slowness patches using dictionary learning. The LST approach compares favorably with smoothness and total variation regularization methods on densely, but irregularly sampled synthetic slowness maps.

研究の動機と目的

• 従来の旅行時間トモグラフィーが滑らかさまたは不連続性のいずれかに限定されるという限界を克服し、両方の特徴を同時にモデル化できるようにすること。
• 不規則なレイトレーサー分布とノイズの多いデータを伴う不適切に定式化されたトモグラフィー問題において、局所的スパarsityとグローバル正則化を統合することで逆問題の精度を向上させること。
• 特定のスローネスマップに適したスパース表現を可能にする、データに適応する辞書学習フレームワークを構築すること。
• 局所的スパースモデリングと適応的辞書を用いることで、汎用的辞書、平滑化法、全 Variation 正則化法に比べて優れた性能が得られることを示すこと。

提案手法

• 本手法はハイブリッドなグローバル・ローカルモデルを定式化する：グローバルモデルは大規模なスローネス傾向を捉えるために$\ell_2$正則化を用い、ローカルモデルは適応的辞書を介して局所的パッチにスパース性を強制する。
• スローネスパッチは、学習済み辞書のアトムのスパース線形結合として表現され、アトムは反復的しきい値処理と符号付きK-means（ITKM）アルゴリズムを用いて更新される。
• 最大事後確率（MAP）定式化により、データ不一致、グローバル$\ell_2$正則化、および学習済み辞書を用いた局所的スパース正則化が統合される。
• 辞書学習は反復的に実行され、まず各パッチに対して絶対内積が最大となる$T$個のアトムを特定し、その後、単位ノルム制約下でラグランジュ最適化を用いてアトムを更新する。
• アルゴリズムは、スパースコーディング（係数の特定）と辞書更新（アトムの最適化）を交互に繰り返し、旅行時間およびスローネスのRMSEを用いて収束をモニタリングする。
• 本手法は、2%のガウスノイズを伴う不規則なレイトレーサー分布下で、チェッカーボード型および滑らかで不連続なスローネスマップを用いた合成2次元表面波トモグラフィー問題に適用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的辞書学習は、固定辞書またはグローバル正則化法と比較して、2次元旅行時間トモグラフィーにおける滑らかでない構造と不連続構造の再構成性能を向上させることができるか？
• RQ2 適応的辞書を用いた局所的スパースモデルは、ノイズが多く不規則なレイトレーサー分布下で、従来の平滑化法や全 Variation 正則化法と比較して、スローネス再構成精度にどの程度優れているか？
• RQ3 地震トモグラフィーにおいて、データ固有の辞書を学習することで、ウェーブレットのような汎用的辞書と比較して性能がどの程度向上するか？
• RQ4 スパarsityレベル$T$と正則化パラメータが、LST逆問題の収束性と精度に与える影響は何か？

主な発見

• LSTは、ノイズを含む旅行時間データの100回の実現について、従来法および全 Variation 法と比較して平均スローネスRMSEが低く抑えられ、チェッカーボード型および滑らかで不連続な合成マップの両方で一貫した改善が得られた。
• 2%の旅行時間誤差下で、LSTは従来のトモグラフィーと比較してスローネスRMSEを最大30%低減し、TV正則化法と比較しても最大20%低減した。
• 辞書学習は再構成精度を顕著に向上させる：適応的辞書を用いたLSTは、固定されたウェーブレット辞書を用いたLSTよりも優れた性能を示し、特に急激な不連続性の解像度向上に顕著であった。
• LSTアルゴリズムの収束は安定しており、反復回数が増加するにつれて旅行時間のRMSEが単調に減少し、最適化の堅牢性が示された。
• 本手法は、局所的スパarsityとグローバルな滑らかさのバランスを効果的にとらえ、スローネス場における微細な不連続性と大規模な傾向の両方を保持した。
• 性能向上は、特に不規則なレイトレーサー密度領域で顕著であり、従来法やTV法では見られるぼやけやリングアーチファクトが著しく減少した。