[論文レビュー] Traveling Wave Solutions for Space-Time Fractional Nonlinear Evolution Equations

M. G. Hafez, Dianchen Lu|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、空間時間分数階非線形発展方程式の解析的 exact 旅行波解を導出するため、一般化された exp-関数展開法とジュマリエの修正 Riemann-Liouville 分数階微分を組み合わせた手法を提案する。この手法は、空間時間分数階 Burgers 方程式、泡の排水方程式、および第五階 Sawada-Kotera 方程式に対して、双曲線関数、三角関数、指数関数、有理関数解を効果的に得ることに成功し、分数階数学物理学および工学分野における有効性と応用可能性を示している。

ABSTRACT

Space time fractional nonlinear evolution equations have been widely applied for describing various types of physical mechanism of natural phenomena in mathematical physics and engineering. The proposed generalized exp expansion method along with the Jumarie s modified Riemann-Liouville derivatives is employed to carry out the integration of these equations, particularly space-time fractional Burgers equations, space-time fractional foam drainage equation and time fractional fifth order Sawada Kotera equation. The traveling wave solutions of these equations are appeared in terms of the hyperbolic, trigonometric, exponential and rational functions. It has been shown that the proposed technique is a very effectual and easily applicable in investigation of exact traveling wave solutions to the fractional nonlinear evolution equations arises in mathematical physics and engineering.

研究の動機と目的

• 数学的物理および工学分野に現れる空間時間分数階非線形発展方程式を解くための有効な解析的手法を開発すること。
• 複雑な非線形性を有する分数階偏微分方程式において exact 旅行波解を求める課題に対処すること。
• ジュマリエの修正 Riemann-Liouville 定義を用いて、exp-関数法の分数階微分への適用範囲を拡張すること。
• Burgers、泡の排水、Sawada-Kotera 型の代表的分数階方程式に対して、本手法の有効性を実証すること。
• 双曲線関数、三角関数、指数関数、有理関数の形で exact 解を導出する体系的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 一般化された exp-関数展開法を用いて、旅行波変換により分数階非線形 PDE を常微分方程式に変換する。
• 空間時間分数階微分を扱うために、ジュマリエの修正 Riemann-Liouville 分数階微分を用いる。
• 解の ansatz は、exp-関数に関する有限級数展開とし、非線形項と分数階微分項のバランスから係数を決定する。
• 得られた代数的方程式系を解くことで、ansatz 内の未知パラメータを特定する。
• 本手法を、空間時間分数階 Burgers 方程式、泡の排水方程式、時間分数階第五階 Sawada-Kotera 方程式の3つの具体的な方程式に体系的に適用する。
• パラメータ関係に応じて、双曲線関数、三角関数、指数関数、有理関数の形で閉形式の解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された exp-関数法は、空間時間分数階非線形発展方程式を効果的に解くために適応可能か？
• RQ2 分数階 Burgers 方程式および泡の排水方程式に対して、双曲線関数、三角関数、指数関数、有理関数といった exact 旅行波解を導出できるか？
• RQ3 ジュマリエの修正 Riemann-Liouville 導関数の使用は、分数階 PDE の解法プロセスをどのように向上させるか？
• RQ4 本手法は、多様な分数階非線形発展方程式に対して exact 解を導出するうえで、適用可能性と頑健性を有しているか？
• RQ5 本手法は、既存の文献における既知の解析的形と整合性を持つ閉形式解を導出できるか？

主な発見

• 提案手法は、空間時間分数階 Burgers 方程式に対して、双曲線関数および有理関数の形で exact 旅行波解を効果的に導出できた。
• 空間時間分数階泡の排水方程式に対しては、三角関数および指数関数を含む解が得られた。
• 時間分数階第五階 Sawada-Kotera 方程式は、本手法を用いて解かれ、双曲線関数および有理関数の形で解が得られた。
• 仮定された ansatz とパラメータの決定に基づき、解が元の分数階微分方程式を明示的に満たすことが確認された。
• 複雑な数値スキームを要せず、exact 解を効率的かつ容易に得られるという点で、本手法は高い効率性を示した。
• 一般化された exp-関数法とジュマリエの分数階微分定義の組み合わせは、分数階非線形 PDE に対して強力かつ信頼性の高い解析的ツールであることが確認された。