[論文レビュー] Tree algebras over topological vector spaces in rough path theory

Thomas Cass, Martin P. Weidner|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一般のバナッハ空間上の分岐した粗い経路を、位相的ベクトル空間上の木代数を用いて厳密に定式化する枠組みを導入し、グロスマン＝ラーソンとコンネス＝クライマーのホップ代数の双対性を確立する。また、任意の高階微分可能な関数に対するテストに基づく、粗い確率微分方程式（RDE）の新しい解の定義と、古典的なダヴィー＝フリーツ＝ヴィトゥアールの定義との等価性を、無限次元の設定ででさえ示している。

ABSTRACT

We work with non-planar rooted trees which have a label set given by an arbitrary vector space $V$. By equipping $V$ with a complete locally convex topology, we show how a natural topology is induced on the tree algebra over $V$. In this context, we introduce the Grossman-Larson and Connes-Kreimer topological Hopf algebras over $V$, and prove that they form a dual pair in a certain sense. As an application we define the class of branched rough paths over a general Banach space, and propose a new definition of a solution to a rough differential equation (RDE) driven by one of these branched rough paths. We show equivalence of our definition with a Davie-Friz-Victoir-type definition, a version of which is widely used for RDEs with geometric drivers, and we comment on applications to RDEs with manifold-valued solutions.

研究の動機と目的

• 一般のバナッハ空間を基礎とするモデル空間として、粗い経路理論を無限次元の状態空間へと拡張すること。
• 任意の位相的ベクトル空間上での木代数の位相的枠組みを構築し、無限次元の分岐粗い経路の解析を可能にする。
• 任意の高階微分可能な関数に対するテストを用いて、粗い確率微分方程式（RDE）の新しい解の概念を定義すること。
• この新しい解の定義と、広く用いられているダヴィー＝フリーツ＝ヴィトゥアールのアプローチとの等価性を、非幾何的ドライバーに対しても確立すること。
• 座標変換不変のテストを用いて、多様体上でのRDE解の幾何的に整合性のある定義を提供すること。

提案手法

• 完備な局所凸位相を備えたベクトル空間 $V$ 上に木代数を構成し、ラベル付き根付き非平面木の代数に自然な位相を誘導する。
• 空間 $V$-ラベル付き木の上に、双対な位相的ホップ代数（グロスマン＝ラーソンおよびコンネス＝クライマー）を導入し、積と余積構造を尊重するペアリングによって双対性を確立する。
• $\Psi_{V,f,y,\nabla}$ と呼ばれる写像を定義し、各木に対して $f$ の反復微分とベクトル場 $V$ を含む多変数線形写像を割り当て、各木が解の増分に寄与する部分を符号化する。
• RDEの新しい解の定義を提唱する：$\|y_t - \Psi_{V,\mathrm{id},y_s,\nabla}(\mathbf{x}_{s,t})\| \leq \theta(\omega(s,t))$ かつ $\theta(h)/h \to 0$ が $h \to 0$ のとき成り立つ。ここで $\theta$ は高次誤差を捉える。
• ベクトル空間上の標準接続を用い、一般の接続に一般化することで、多様体上での解の定義における座標不変性を保証する。
• 理論を応用し、非幾何的ドライバーおよび無限次元設定でも、新しい解の定義とダヴィー＝フリーツ＝ヴィトゥアールの定義との等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐粗い経路を用いて、無限次元バナッハ空間における粗い確率微分方程式の厳密な解理論を構築することは可能か？
• RQ2 古典的なダヴィー＝フリーツ＝ヴィトゥアールの解の定義を、非幾何的ドライバーおよび無限次元状態空間に一般化する方法は何か？
• RQ3 任意の高階微分可能な関数に対するテストに基づく解の概念は、標準的なダヴィー＝フリーツ＝ヴィトゥアールの定義と等価か？
• RQ4 ラベル付き根付き木の代数的構造を、無限次元解析を可能とするために、任意の位相的ベクトル空間へと拡張する方法は何か？
• RQ5 接続は多様体上でのRDE解の定義において果たす役割は何か？ また、解の概念を座標の選択に依存させない形に保つにはどうすればよいか？

主な発見

• 本稿は、任意の完備な局所凸位相的ベクトル空間上での木代数の完全な位相的枠組みを構築し、無限次元解析を可能にする。
• $V$-ラベル付き木の上でのグロスマン＝ラーソンとコンネス＝クライマーのホップ代数の位相的双対性を確立し、有限次元での双対性を無限次元へ一般化する。
• 高次誤差項が消える近似 $y_t \approx \Psi_{V,\mathrm{id},y_s,\nabla}(\mathbf{x}_{s,t})$ を根拠とする、RDEの新しい解の定義が、古典的なダヴィー＝フリーツ＝ヴィトゥアールの定義と等価であることを証明する。
• 解の概念は微分同相変換に関して不変であることが、補題5.6で示され、幾何的整合性が確認される。
• 増分 $y_t - y_s$ が古典的意味で定義されない場合でも、滑らかな実数値関数に対するテストを用いて、多様体上でのRDE解を定義可能である。
• 理論は、多様体値解をもつRDEや、無限次元設定における確率的粗い経路を厳密に研究する基盤を提供する。