[論文レビュー] Tree expansions in time-dependent perturbation theory

Christian Brouder, Ângela Mestre+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2009

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する摂動論を簡略化するために、木構造に基づく新しいパrametrizationと一般化された反復積分を導入し、数え上げ的・代数的組合せ論からの組合せ構造を活用することで、計算複雑性を低減する。主な貢献は、1つの木に対応するすべての項を合算すると、個々の項よりも著しく単純化された表現が得られることであり、理論的明確性と効率的な数値計算の両方を可能にする。さらに、Gell-Mann と Low の波動関数の Morita の一般化について、非摂動的収束性が証明されている。

ABSTRACT

The computational complexity of time-dependent perturbation theory is well-known to be largely combinatorial whatever the chosen expansion method and family of parameters (combinatorial sequences, Goldstone and other Feynman-type diagrams...). We show that a very efficient perturbative expansion, both for theoretical and numerical purposes, can be obtained through an original parametrization by trees and generalized iterated integrals. We emphasize above all the simplicity and naturality of the new approach that links perturbation theory with classical and recent results in enumerative and algebraic combinatorics. These tools are applied to the adiabatic approximation and the effective Hamiltonian. We prove perturbatively and non-perturbatively the convergence of Morita's generalization of the Gell-Mann and Low wavefunction. We show that summing all the terms associated to the same tree leads to an utter simplification where the sum is simpler than any of its terms. Finally, we recover the time-independent equation for the wave operator and we give an explicit non-recursive expression for the term corresponding to an arbitrary tree.

研究の動機と目的

• 従来の時間に依存する摂動論手法に内在する高い計算複雑性に対処すること。
• 量子場の理論的手法を現代の組合せ論と結びつけることで、より体系的で効率的な摂動展開を構築すること。
• 摂動級数の理論的解析と数値的実装の両方を簡略化する統一的フレームワークを提供すること。
• Morita が提案した Gell-Mann と Low の波動関数の一般化の非摂動的収束性を厳密に確立すること。
• 任意の木に対応する摂動項に対して明示的で再帰的でない表現を導出すること。

提案手法

• 根付き木を用いた摂動項のパrametrizationを採用し、展開を体系的に整理する。
• 時間順序寄与を表すために一般化された反復積分を用い、従来の図式的または系列に基づく展開に代わる。
• 数え上げ的・代数的組合せ論からの組合せ的道具を応用し、摂動級数を木構造に基づく成分に再編成する。
• 1つの木に対応するすべての項を合算すると、その結果として得られる表現が著しく単純化されることを活用する。
• 時間に依存しない極限において波動演算子が自然に回復され、標準的な定式化と整合性を示す。
• 任意の与えられた木の寄与に対して、再帰的計算を回避する明示的で非再帰的な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木構造に基づくパrametrizationは、従来の図式的または系列に基づく手法をはるかに超えて、時間に依存する摂動論の構造を簡略化できるか？
• RQ2 1つの木に対応するすべての項を合算すると、個々の項よりも単純でよりコンactな表現が得られるか？
• RQ3 このフレームワーク内において、Morita が提案した Gell-Mann と Low の波動関数の一般化の非摂動的収束性を厳密に確立できるか？
• RQ4 任意の木に対忾する摂動項に対して、再帰的でない明示的表現を導出することは可能か？
• RQ5 この木構造に基づくアプローチは、標準的な時間に依存しない波動演算子形式とどのように関係し、それをどのように回復するか？

主な発見

• 1つの木に対応するすべての摂動項を合算すると、その和に含まれる個々の項よりも単純化された表現が得られる。
• 本手法は、任意の木の摂動展開への寄与に対して、非再帰的で明示的な公式を提供する。
• このフレームワークにより、Morita が提案した Gell-Mann と Low の波動関数の一般化の非摂動的収束性の証明が可能になる。
• 時間に依存しない波動演算子形式は、木構造に基づく展開の断続的極限において自然に回復される。
• 本手法は、時間に依存する摂動論と、数え上げ的・代数的組合せ論における古典的および最近の結果を統合する。
• 一般化された反復積分と木パrametrizationの使用により、計算複雑性が顕著に低減される。