[論文レビュー] Tree Tribes and Lower Bounds for Switching Lemmas

Jenish C. Mehta|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、任意の葉からの距離がt以内であるノードをもつブール関数（t-クリッピング付き意思決定木として表現可能な関数）に対して、ランダムなp-制限のもとでのスイッチング・レムナのタイトな上限と下限を確立する。関数の意思決定木の深さが制限後にdを超える確率は(4p²ᵗ)ᵈで抑えられ、特定のpとdに対して、(c₀p²ᵗ)ᵈのマッチングする下限が構築され、定数要因を除いて境界の最適性が示された。

ABSTRACT

Let f be a Boolean function on n variables, rho a random p-restriction that independently keeps each variable unset (or free) with probability p and otherwise uniformly sets it to 0 or 1, and DT_{depth}(f) denote the depth of the smallest depth decision tree for f. Let R_d(f|rho) be the resilience of f to rho for depth d, defined as R_d(f|rho)=Pr_{rho < - rho}[DT_{depth}(f|rho)>= d]. If d >> pn, all functions have resilience close to 0 since less than d variables would remain unset with high probability. For d << pn, most functions f on n variables have resilience close to 1, and some functions, like AND and OR, have resilience close to 0. Håstad's Switching Lemma states that for t-DNFs, the resilience R_d(f|rho) is upper bounded by (5pt)^d, and from known upper bounds on the size of constant depth circuits computing the parity function, it follows that there exist t-DNFs whose resilience is close to the bound obtained by Håstad. However, the exact bounds for such maximally resilient DNFs or their structure is unclear, and moreover, the argument is non-constructive. In this work, we give an explicit construction of functions called Tree Tribes parameterized by an integer t and denoted Xi_t (on n variables), such that R_d(Xi_t|rho)<=(4p2^t)^d, and more importantly, the resilience is also lower bounded by the same quantity up to constants, R_d(Xi_t|rho)>=(c_0 p2^t)^d, for 0 <= p <= c_p 2^-t and 0 <= d <= c_d * (log n)/(2^t * t log t) (where c_0,c_p,c_d are universal constants). As a result, for sufficiently large n and small d, this gives a hierarchy of functions with strictly increasing resilience, and covers the entire region between the two extremes where functions have resilience (close to) 0 or 1.

研究の動機と目的

• t-クリッピング付き意思決定木として表現可能なブール関数に対して、ランダムなp-制限を施した後の意思決定木の深さに関するタイトな上限と下限を確立すること。
• DNFや関連クラスに対する従来のスイッチング・レムナ結果を一般化し、より広いクラスのt-クリッピング付き意思決定木を考察することで、それらを改善すること。
• 特定のパrameterの範囲で、上界(4p²ᵗ)ᵈが定数要因を除いて最適であることを示すために、同じ上界を達成する関数を構築すること。
• 従来の組合せ的アプローチよりもタイトな定数を得られる、再帰的で条件付きの証明技法を提供すること。

提案手法

• 変数の割り当てに条件づけた、ランダムなp-制限下での意思決定木の深さの再帰的解析を用いる。
• 制限後に深さが≥dである確率を表す再帰的関係式を導入する。
• 最初の値が1または*である場合に応じた3段階のケース解析を行い、制限空間を最初の1の位置で分割する。
• 生成関数と二項係数の恒等式を用いて、部分木における深さの増加確率を抑え込む。
• 深さdについての帰納法を用い、d=1とd≥2の基本ケースを別個に取り扱い、再帰的展開と幾何級数の評価を用いる。
• 漸近的解析とパラメータスケーリング（例：r ∈ Ω(d²ᵗ)）を適用し、明示的な定数を伴う最終的な下限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t-クリッピング付き意思決定木がランダムなp-制限を受けると、深さがdを超える確率のタイトな上界は何か？
• RQ2 同じ関数クラスに対して、マッチングする下限を構築できるか？ これにより、上界が漸近的に最適であることが示されるか？
• RQ3 p-制限下でのt-クリッピング付き意思決定木の深さ分布はどのように振る舞い、パrameter tは減衰率にどのような役割を果たすか？
• RQ4 [Has86]で用いられた再帰的条件付き手法を、このクラスに対して適応することで、従来の組合せ的アプローチよりもタイトな境界を得られるか？
• RQ5 上界(4p²ᵗ)ᵈが定数要因を除いてタイトになるパラメータの範囲（p, d, tの観点から）は何か？

主な発見

• 本稿はタイトな上界を確立した：任意のt-クリッピング付き意思決定木fに対して、ランダムなp-制限ρの下でPr[DTdepth(f|ρ) ≥ d] ≤ (4p²ᵗ)ᵈが成り立つ。
• マッチングする下限が証明された：任意のtに対して、関数gtが存在し、0 ≤ p ≤ cp2⁻ᵗおよび0 ≤ d ≤ cd(log n)/(2t log t)の範囲でPr[DTdepth(gt|ρ) ≥ d] ≥ (c₀p²ᵗ)ᵈが成り立つ。
• 同じ関数クラスに対して、従来の結果より(10t)ᵈの要因で改善されており、定量的な向上が顕著である。
• 下限の構築には、「ツリー・トリブス」と呼ばれる再帰的構造が用いられ、標準的なトリブス関数を一般化し、制限下での深さ伝搬のタイトな解析を可能にした。
• 証明技法は、変数の割り当てに関する再帰的条件付き解析と幾何級数の和の評価を用い、漸近的にタイトな境界を導出する。
• 解析により、p-制限下での深さの減衰率は指数部2ᵗによって支配され、かつ、指数の底における定数要因を除いて境界が最適であることが示された。