[論文レビュー] Trees in Wavelet analysis on Vilenkin groups

С. Ф. Лукомский|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

advanced mathematical theories参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、(1,M)-基本的ステップ関数がp進バイレキン群上で正規直交多スケール解析(MRA)を生成するための必要十分条件が、頂点集合{0,1,…,p−1}に根をもつ根付き木から構成されたものであることを確立している。著者は、任意のこのような木から再帰的関数および正規直交ウェーブレットを構成するための構成的アルゴリズムを提供し、バイレキン群上のウェーブレット理論と組合せ的木構造を結びつけている。

ABSTRACT

We consider a class of $(1,M)$-elementary step functions on the $p$-adic Vilenkin group. We prove that $(1,M)$-elementary step function generates a MRA on $p$-adic Vilenkin group iff it is generated by a rooted tree on the set of vertices $\{0,1,\dots p-1\}$ with 0 as a root. Bibliography: 14 titles.

研究の動機と目的

• p進バイレキン群上で(1,M)-基本的ステップ関数が正規直交多スケール解析(MRA)を生成するための必要十分条件を特定すること。
• 根が0である{0,1,…,p−1}上の根付き木と、正規直交MRAを生成する再帰的関数との間の一対一対応を確立すること。
• 与えられた根付き木構造から正規直交ウェーブレットを構成するためのアルゴリズムを開発すること。
• 零次元群の文脈において、再帰的関数のフーリエ変換の台構造を明確にすること。
• 特に単位球B₀(0)を超えるスペクトル台に関する仮定を越えて、バイレキン群上でのウェーブレット構成を一般化すること。

提案手法

• 根付き木T(V)の根が0であるとき、そのパスに対応する双対群の陪集合の和集合として(1,M)-基本的集合を定義する。
• 根付き木によって生成される(1,M)-基本的集合を台とするフーリエ変換を持つ再帰的ステップ関数φを構成する。
• 木の隣接関係から導かれるユニタリ行列を用いて、マスク関数m₀(χ)を定義する。
• 木の分岐構造から得られる係数を用いて、φのスケーリングおよび平行移動コピーの線形結合としてウェーブレット関数ψₗ(x)を定義する。
• フーリエ変換の台上でマスク関数が必要な直交性および消失条件を満たすことを示すことにより、ウェーブレット系の正規直交性を検証する。
• 零次元群における群Gとその乗法的群Xの双対性を活用し、ハール測度および零次元群上のフーリエ解析を用いてウェーブレット構成を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (1,M)-基本的ステップ関数がp進バイレキン群上で正規直交MRAを生成する条件は何か？
• RQ2 再帰的関数のフーリエ変換の台構造は、頂点集合{0,1,…,p−1}上の組合せ的木構造とどのように関係しているか？
• RQ3 根が0である{0,1,…,p−1}上の任意の根付き木を用いて、正規直交MRAを生成する再帰的関数を構成できるか？
• RQ4 与えられた頂点集合上の根付き木から正規直交ウェーブレットを構成する明示的アルゴリズムは何か？
• RQ5 木から導かれるウェーブレット系は、L₂(𝔾)において正規直交性および完全性をどのように保証するか？

主な発見

• (1,M)-基本的ステップ関数がp進バイレキン群上で正規直交MRAを生成するための必要十分条件は、頂点集合{0,1,…,p−1}に根をもつ根付き木から構成されたものであること。
• 再帰的関数φのフーリエ変換の台は(1,M)-基本的集合であり、これは根0から出発する木のすべてのパスにインデックスが付けられた文字の集合に丁度一致する。
• 任意の根付き木T(V)に対して、その平行移動がV₀における正規直交基底をなす再帰的関数φを明示的に構成できる。
• ウェーブレット関数ψₗ(x)は、木の分岐構造から得られる係数を用いたφのスケーリングおよび平行移動コピーの線形結合として定義される。
• 系{ψₗ(𝒜ⁿx − h) | l = 1,…,p−1, n ∈ ℤ, h ∈ H₀}はL₂(𝔾)における完全な正規直交基底をなしており、ウェーブレット系がパーシバルフレームであることを証明する。
• 構成法により、マスク関数mₗ(χ)がX₀上で|m₀(χ)| = 1であり、かつフーリエ変換の台上でℓ ≠ 0に対してmₗ(χ) = 0を満たすことが保証され、ウェーブレット系の直交性が保証される。