[論文レビュー] Tri-Hamiltonian Structures of The Egorov Systems

M. V. Pavlov, S. P. Tsarëv|ArXiv.org|Jun 16, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、微分幾何的アプローチを用いて、ガリレオ不変性およびスケーリング対称性を持つ対角化可能でエゴロフ型の流体系に対して、三つの相性のとれたハミルトニアン構造（二つは局所的、一つは非局所的）の存在を確立する。その根拠は、最初のハミルトニアン構造の消滅子の同次次数に基づく。主要な結果は、ウィットハム方程式、非線形シュレーディンガー方程式、ベンニー–ザハロフ系に応用される。

ABSTRACT

The description of the Egorov hydrodynamic type systems is presented in language of conservation laws. Under extra conditions of semisimplicity and homogeneity tri-Hamiltonian structures of such systems are described. Even and odd cases are related with flat and metric of constant curvature, respectively. Some important and well-known examples like averaged by Whitham approach and dispersionless limits of vector NLS and vector LSR are investigated.

研究の動機と目的

• 対角化可能でエゴロフ型の流体系に対して、三つの相性のとれたハミルトニアン構造の存在を確立すること。
• 第二および第三のハミルトニアン構造が存在する条件を特定し、それらを局所的、定曲率をもつ非局所的、一般非局所的のいずれに分類すること。
• 物理的対称性およびエゴロフ計量を有する可積分系に適用可能な一般的な微分幾何的手法を提供すること。
• 可積分系のフォーブルス多様体および共形的位相的場理論への理論の拡張を、結合性方程式を用いて行うこと。
• 具体的な系、例えばウィットハム方程式、分散なしNLS、ベンニー–ザハロフ系に結果を応用すること。

提案手法

• リーマン不変量を用いて速度行列を対角化し、過剰決定系 $ \partial_k \ln H_i = \Gamma_{ik}^i = \frac{\partial_k \upsilon^i}{\upsilon^k - \upsilon^i} $ からラメ係数 $ H_i $ を導出する。
• 回転係数 $ \beta_{ik} = \frac{\partial_i H_k}{H_i} $ を導入し、その整合性条件が半ハミルトニアン性を保証する。
• ダブロヴィン–ノヴィコフ条件 $ \partial_i \beta_{ik} + \partial_k \beta_{ki} + \sum_{m \neq i,k} \beta_{mi} \beta_{mk} = 0 $ を適用して局所的ハミルトニアン構造を特定する。
• 定理1を用いて、計量のエゴロフ性を判定する基準を導出し、リーマンテンソルの消滅と平坦性とを関連付ける。
• 最初のハミルトニアン構造の消滅子の同次次数を分析することで、第二および第三の構造が局所的か非局所的かを分類する。
• 対称性および計量の同次性を検証することにより、ウィットハム方程式やベンニー–ザハロフ系といった具体的な系にこの手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対角化可能でエゴロフ型の流体系が第二および第三のハミルトニアン構造を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 第二および第三のハミルトニアン構造の種別（局所的か非局所的か）は、消滅子の同次次数からどのように特定できるか？
• RQ3 エゴロフ性が三つのハミルトニアン構造の存在に果たす役割は何か？
• RQ4 物理的対称性（ガリレオ不変性およびスケーリング対称性）は、複数の相性のとれたハミルトニアン構造の存在をどのように促進するか？
• RQ5 提示された手法は、ウィットハム方程式やNLSの分散なし極限といった可積分系に普遍的に適用可能か？

主な発見

• 本稿は、二つの物理的対称性（ガリレオ不変性およびスケーリング）とエゴロフ計量を有する対角化可能流体系が第三のハミルトニアン構造を有することを証明する。
• 第二および第三のハミルトニアン構造の存在および種別（局所的か非局所的か）は、最初の構造の消滅子の同次次数にのみ依存する。
• ウィットハム方程式、ベンニー–ザハロフ系、ヤジマ–オイカワ–メルニコフ系において、二つの局所的および一つの非局所的ハミルトニアン構造の存在が確認される。
• 平坦座標 $ u^k $ に対応する関数 $ \psi_i^{(k)} $ の同次次数は $ -1/2 $、$ \eta^k $ に対しては $ 1/2 $、$ w $ に対しては $ 0 $ であり、これが構造の種別を決定する。
• 計量のエゴロフ性は単純な基準（定理1）で特徴づけられ、これにより系の幾何と整合する平坦計量の存在が保証される。
• 理論はフォーブルス多様体および共形的位相的場理論に拡張可能であり、ウィッテン–ダイクグラーフ–ベルリンデ–ベルリンデの結合性方程式に対する解法フレームワークを提供する。