[论文解读] Trialities of orthosymplectic $\mathcal{W}$-algebras

Thomas Creutzig, Andrew R. Linshaw|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 62被引用 8

一句话总结

本文建立了四类关于正交对称 ${\mathcal{W}}$-代数类型 $B$、$C$、$D$ 和 $O$ 的仿射余代数的一参数顶点代数之间的对偶同构，推广了早期关于 $A$-型对偶的结果。利用通用的两参数顶点代数 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$，作者在参数空间中识别出截断曲线，并证明了在特定的层级变换下，余代数 ${\mathcal{C}}^\psi_{iX}(n,m)$ 是同构的，从而统一了费金-弗伦克尔对偶性、余代数构造以及经典与超代数的对偶定理。

ABSTRACT

Trialities of $\mathcal{W}$-algebras are isomorphisms between the affine cosets of three different $\mathcal{W}$-(super)algebras, and were first conjectured in the physics literature by Gaiotto and Rapčák. In this paper we prove trialities among eight families of $\mathcal{W}$-(super)algebras of types $B$, $C$, and $D$. The key idea is to identify the affine cosets of these algebras with one-parameter quotients of the universal two-parameter even spin $\mathcal{W}_{\infty}$-algebra which was recently constructed by Kanade and the second author. Our result is a vast generalization of both Feigin-Frenkel duality in types $B$, $C$, and $D$, and the coset realization of principal $\mathcal{W}$-algebras of type $D$ due to Arakawa and us. It also provides a new coset realization of principal $\mathcal{W}$-algebras of types $B$ and $C$. As an application, we prove the rationality of the affine vertex superalgebra $L_k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$, the minimal $\mathcal{W}$-algebra $\mathcal{W}_{k-1/2}(\mathfrak{sp}_{2n+2}, f_{ ext{min}})$, and the coset $ ext{Com}(L_k(\mathfrak{sp}_{2m}), L_k(\mathfrak{sp}_{2n}))$, for all integers $k,n,m \geq 1$ with $m

研究动机与目标

• 将 ${\mathcal{W}}$-代数对偶性的理论从类型 $A$ 扩展到包括类型 $B$、$C$、$D$ 和 $O$ 的经典与正交对称李超代数。
• 建立与 $\mathfrak{g} = \mathfrak{a} \oplus \mathfrak{b} \oplus \rho_{\mathfrak{a}} \otimes \rho_{\mathfrak{b}}$ 相关的 ${\mathcal{W}}$-代数仿射余代数之间的同构关系。
• 利用通用的两参数顶点代数 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$，在单一框架内统一已知的对偶性（如费金-弗伦克尔对偶性）与余代数实现。

提出的方法

• 作者利用通用的两参数顶点代数 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$，通过 $\mathbb{C}^2$ 中的截断曲线参数化一参数商代数，识别出定义余代数的相关理想。
• 他们将仿射余代数 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{iX}(n,m)$ 定义为 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$ 的商代数，其中 $\psi = k + h^\vee$ 为临界平移后的层级。
• 关键技术在于分析类型为 ${\mathcal{W}}(1^{\dim \mathfrak{a}}, 2, 4, \dots, 2m, ((d_{\mathfrak{b}}+1)/2)^{d_{\mathfrak{a}}})$ 的 ${\mathcal{W}}$-代数 ${\mathcal{W}}^k(\mathfrak{g}, f_{\mathfrak{b}})$ 的表示理论，并识别其仿射子代数。
• 通过匹配不同类型下余代数的结构及其参数依赖性，利用由有理方程定义的层级变换 $\psi \mapsto \psi'$ 和 $\psi \mapsto \psi''$ 证明同构关系。
• 对于具有 $\mathbb{Z}_2$-对称性的情况（类型 $B$、$D$、$O$），余代数被定义为仿射余代数的 $\mathbb{Z}_2$-商空间。
• 通过显式计算并与已知的余代数实现和对偶定理（包括 ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{so}_{2r})^{\mathbb{Z}_2}$ 和 ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{osp}_{1|2r})^{\mathbb{Z}_2}$）进行比较，验证了结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对偶同构关系能否从类型 $A$ 扩展到类型 $B$、$C$、$D$ 和 $O$ 的经典与正交对称李超代数？
• RQ2 与 $\mathfrak{g} = \mathfrak{a} \oplus \mathfrak{b} \oplus \rho_{\mathfrak{a}} \otimes \rho_{\mathfrak{b}}$ 相关的 ${\mathcal{W}}$-代数仿射余代数是否在层级变换下表现出对偶性？
• RQ3 通用的两参数顶点代数 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$ 能否统一描述不同类型的余代数及其同构关系？
• RQ4 新发现的对偶性是否与已知对偶性（如费金-弗伦克尔对偶性及主 ${\mathcal{W}}$-代数的余代数实现）一致？
• RQ5 层级变换 $\psi \mapsto \psi'$ 和 $\psi \mapsto \psi''$ 是否统一了不同类型与情形下的参数依赖性？

主要发现

• 本文证明了四类对偶同构关系：${\mathcal{C}}^{\psi}_{2B}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{2O}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{2B}(m,n)$，其中 $\psi' = \frac{1}{4\psi}$ 且 $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{\psi''} = 2$，对 $m \geq n \geq 0$ 成立。
• 对于类型 $1C$，对偶关系 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{1C}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{2C}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1C}(m,n)$ 成立，其中 $\psi' = \frac{1}{2\psi}$ 且 $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$，对 $m \geq n \geq 0$ 成立。
• 建立了对偶关系 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{2D}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{1D}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1O}(m-1,n)$，其中 $\psi' = \frac{1}{2\psi}$ 且 $\frac{1}{2\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$，对 $m \geq n \geq 0$ 且 $n \geq 2$ 成立。
• 对偶关系 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{1O}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{1B}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{2D}(m+1,n)$ 成立，其中 $\psi' = \frac{1}{\psi}$ 且 $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{2\psi''} = 1$，对 $m \geq n \geq 0$ 成立。
• 特殊情形 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{2D}(n,0) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1O}(0,n-1)$，其中 $\frac{1}{2\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$，为类型 $D$ 的主 ${\mathcal{W}}$-代数余代数实现提供了新证明，此前已在 [ACL] 中建立。
• 本文确认，所有 ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{osp}_{1|2r})$ 的 $\mathbb{Z}_2$-商空间之间的同构均源于所列参数变换，中心荷为 $c = -\frac{(1+2m)(1+2n)(2mn - m - n)}{2(m+n)}$。