[論文レビュー] Triangular Schlesinger systems and superelliptic curves

Vladimir Dragović, Renat Gontsov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、等差数列をなす固有値をもつ三角行列シュレスラー系と、スーパー代数的リーマン面におけるメラモーフィック微分形式の周期との間の関係を確立する。代数幾何学的手法を用いて明示的な解を導出し、シュレスラー系に対して多項式解および有理型解を構成するとともに、Painlevé VI方程式に対して1パラメータ族の有理型解と、特定のガーニエ系に対して代数的解を構成する。特に、$w^m = \prod (z - a_i)$ の形の曲線上での留数計算が中心となる。主な貢献は、スーパー代数的曲線の周期とモノドロミーの考察を用いた、こうした解の体系的構成法である。

ABSTRACT

We study the Schlesinger system of partial differential equations in the case when the unknown matrices of arbitrary size $(p imes p)$ are triangular and the eigenvalues of each matrix form an arithmetic progression with a rational difference $q$, the same for all matrices. We show that such a system possesses a family of solutions expressed via periods of meromorphic differentials on the Riemann surfaces of superelliptic curves. We determine the values of the difference $q$, for which our solutions lead to explicit polynomial or rational solutions of the Schlesinger system. As an application of the $(2 imes2)$-case, we obtain explicit sequences of rational solutions and one-parameter families of rational solutions of Painlev\'e VI equations. Using similar methods, we provide algebraic solutions of particular Garnier systems.

研究の動機と目的

• 固有値が有理数差 $q = n/m$ をもつ等差数列をなす上三角行列シュレスラー系を研究すること。
• スーパー代数的リーマン面 $w^m = \prod_{i=1}^N (z - a_i)$ 上のメラモーフィック微分形式の周期を用いて、シュレスラー系の明示的解を構成すること。
• $q$ の値のうち、解が多項式または有理型となるものを見きわめ、明示的なパrametrizationを可能とすること。
• 得られた結果を応用し、Painlevé VI方程式の有理型解および1パラメータ族の解を生成すること。
• フレームワークを拡張し、スーパー代数的曲線上での留数に基づく構成を用いて、特定の2変数ガーニエ系に対して代数的解を構成すること。

提案手法

• スーパー代数的曲線 $\hat{\Gamma}_a = \{(z,w) \in \mathbb{C}^2 \mid w^m = \prod_{i=1}^N (z - a_i)\}$ 上のメラモーフィック微分形式の周期を用いてシュレスラー系の解を導出する。
• リーマン・ロッホの定理と留数計算を用いて、$\Omega_i = \frac{dz}{w(z - a_i)}$ のような微分形式から、線形独立な解を計算する。
• 等モノドロミー変形理論およびマールランジュの $\tau$-関数を適用して、系の整合性と可積分性を保証する。
• $N=3$, $p=2$, $q = \pm 1/2$ に特化することで、Painlevé VI方程式の有理型解を構成し、楕円曲線上のピカール・フラウス方程式と関連付ける。
• 残留ベクトルの組み合わせと係数に関する多項式条件の解法を用いて、ガーニエ系の2パラメータ族の代数的解を定式化する。
• オカモトの有理型変換およびモノドロミー分類を用いて、解の代数的性質を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数 $q = n/m$ のどの値に対して、スーパー代数的曲線の周期を用いた三角行列シュレスラー系が多項式解または有理型解をもつか。
• RQ2 行列解 $B(i)$ の成分は、スーパー代数的曲線上のメラモーフィック微分形式の周期をどのように明示的に表現できるか。
• RQ3 $q = \pm 1/2$ の $2 \times 2$ 三角行列シュレスラー系から生じるPainlevé VI方程式の有理型解の構造はいかなるものか。
• RQ4 こうした系から、Painlevé VI方程式の1パラメータ族の有理型解を体系的に構成できるか。
• RQ5 どのような条件下で、2変数ガーニエ系の代数的解が三角行列シュレスラー等モノドロミー族から生じるか。

主な発見

• 本稿は、スーパー代数的曲線 $w^m = \prod_{i=1}^N (z - a_i)$ 上のメラモーフィック微分形式の周期を用いて、三角行列シュレスラー系の明示的解を構成する。行列成分 $b_{kl}^i(a)$ は、これらの周期の線形結合として表現される。
• $q = \pm 1/2$ の場合、$N=3$ および $p=2$ に特化することで、Painlevé VI方程式の有理型解（1パラメータ族を含む）が得られる。
• $p=2$, $N=3$, $q = \pm 1/2$ の場合、解は楕円曲線 $v^2 = u(u-1)(u-x)$ 上の $du/v$ の周期に対応し、古典的なピカール・フラウス方程式が回復される。
• $2 \times 2$ の場合、本稿はPainlevé VI方程式の明示的有理型解および1パラメータ族の有理型解を導出し、$\Omega_i = dz/(w(z - a_i))$ の留数による行列成分の明示的表現を提供する。
• 本手法により、ガーニエ系 $G_2(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4, 3)$ に対して2パラメータ族の代数的解が得られる。3つの線形独立な残留ベクトルを組み合わせ、$z$ に関する自由パラメータ $c_1, c_2$ をもつ2次多項式を形成することで、代数的関数 $u_1, u_2$ が得られる。
• 得られる解のモノドロミーはアーベル的であり、既知の分類結果と整合的であり、特に $M=2$, $n=-1$, $M$ が偶数の場合を含む、特定のガーニエ系に対して明示的な代数的解が構成可能である。