[論文レビュー] Tricomi type boundary value problem with integral conjugation condition for a mixed type equation with Hilfer fractional operator

Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Hilfer分数階微分作用素を含む混合型偏微分方程式に対して、積分的結合条項を有するトリコミ型境界値問題を検討する。積分方程式法およびエネルギー積分技法を用いて、結合パラメータおよび核関数に特定の条件が満たされる場合に、問題の解の存在と一意性を証明し、Fredholm積分方程式第二種による解の表現を確立する。

ABSTRACT

In this work, The Tricomi type boundary problem with integral conjugation condition on the type-changing line for the mixed type equation with Hilfer fractional differential operator has been considered. Using method of integral equations, energy integral's method, a unique solvability of the formulated problem has been proved.

研究の動機と目的

• 混合型方程式にHilfer分数階微分作用素を含むトリコミ型境界値問題を研究すること。
• タイプ変化線（t=0）における積分的結合条項を導入し、古典的な連続性条件を一般化すること。
• 積分方程式およびエネルギー積分法を用いて、問題の解の存在と一意性を確立すること。
• 第二種Fredholm積分方程式およびその解の核関数（リゾルベント核）を用いた解の表現を導出すること。
• 解の一意性を保証するための結合パラメータおよび核関数に関する十分条件を特定すること。

提案手法

• 領域を双曲型領域および放物型領域に分割し、Hilfer分数階微分作用素 $ D_{0t}^{eta, ho} $（$ \beta \in (0,1] $, $ \rho \in [0,1] $）を含む混合型方程式を定式化する。
• 積分方程式法を用いて、境界値問題をタイプ変化線 $ t=0 $ 上のトレース関数 $ \tau_1(x) $ に関する第二種Fredholm積分方程式に還元する。
• エネルギー積分法を用いて、結合条項に関連する双線形形式の符号を分析することで、一意性を証明する。
• 二パラメータMittag-Leffler関数 $ E_{\alpha,\beta}(z) $、分数階積分、固有関数展開を含む解の表現を導出する。
• リゾルベント核が存在し、核関数が弱特異的または連続的であることを保証する条件下で、得られたFredholm方程式の可解性を確立する。
• 解がすべての境界条件および一般化されたHilfer型伝達条項を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hilfer分数階微分作用素および積分的結合条項を有するトリコミ型境界値問題が、どのような条件下で一意解をもつか。
• RQ2 積分的結合条項は、タイプ変化線 $ t=0 $ を越えて解の正則性および伝達性にどのように影響を与えるか。
• RQ3 解は第二種Fredholm積分方程式により明示的に表現可能か。その可解性に必要な条件は何か。
• RQ4 パラメータ $ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 $ および核関数 $ P(x,z), Q(x,z) $ が一意性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 仮定 $ \gamma_2 \geq 0, \gamma_3 \geq 0, P(x,x) \geq 0, Q(x,x) \geq 0 $ および $ \partial P/\partial z = -P_1(x)P_1(z) $, $ \partial Q/\partial z = -Q_1(x)Q_1(z) $ は、エネルギー推定および一意性証明にどのように寄与するか。

主な発見

• 問題は $ \gamma_1 \geq 0 $, $ \gamma_2 \geq 0 $, $ \gamma_3 \geq 0 $, $ P(x,x) \geq 0 $, $ Q(x,x) \geq 0 $ および $ \partial P/\partial z = -P_1(x)P_1(z) $, $ \partial Q/\partial z = -Q_1(x)Q_1(z) $ を満たす核関数が存在する場合に、一意解をもつ。
• 解は第二種Fredholm積分方程式 $ \tau_1(x) - \int_0^l \tau_1(\xi)K(x,\xi)d\xi = F_2(x) $ を用いて表現され、核関数 $ K(x,\xi) $ は連続的または弱特異的である。
• リゾルベント核 $ R(x,\xi) $ が存在し、解は $ \tau_1(x) = F_2(x) + \int_0^l F_2(\xi)R(x,\xi)d\xi $ と書ける。これにより、提示された条件下で可解性が保証される。
• エネルギー積分推定を用いた一意性証明では、恒等式 $ \int_0^l (\tau_1')^2 dx + C \int_0^l \tau_1 \nu_1 dx = 0 $ が $ \tau_1 \equiv 0 $ を意味し、これにより $ u \equiv 0 $ が導かれる。これは $ \gamma_i $, $ P(x,x) $, $ Q(x,x) $ の非負性仮定のもとで成立する。
• 領域 $ \Omega_1 $ における解はMittag-Leffler関数 $ E_{\alpha,\alpha+\mu(1-\alpha)}(-k\lambda_n^2 t^\alpha) $ を用いて表現され、領域 $ \Omega_2 $ ではd'Alembertの公式を用いる。
• 有効な核関数の具体例として $ P(x,t) = \sin x \cos t $ および $ Q(x,t) = e^{-x}(1 + e^{-t}) $ が挙げられ、$ l \leq \pi/2 $ の範囲で有効である。