[論文レビュー] Trigonometric and Hyperbolic Inequalities

József Sándor|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Mathematical Inequalities and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、補助関数の単調性および凸性と二変数平均への関連を用いて、新しいおよび改良された三角関数および双曲線関数の不等式、特にウィルカー型、フイーゲンス型、クーザ＝フイーゲンス型、ジョーダン型、コーバー型不等式を包括的に提示する。主な貢献は、三角関数および双曲線関数の間の鋭い不等式における最良の定数の導出であり、例えば $rac{ olimits\sin x}{x}$ や $rac{ olimits\sinh x}{x}$ が $ olimits\cosh x$ を用いて評価されるものや、算術平均、幾何平均、対数平均、セイフェルト平均を含む新しい平均に基づく不等式の確立である。

ABSTRACT

We prove various new trigonometric and hyperbolic inequalities of Jordan, Wilker, Huygens or Cusa-Huygens type. Connections with bivariate means, as well as monotonicity and convexity properties are pointed out, too.

研究の動機と目的

• 三角関数および双曲線関数のための新しいおよび改善された不等式の確立、特にウィルカー型、フイーゲンス型、クーザ＝フイーゲンス型、ジョーダン型、コーバー型の不等式。
• $\frac{\sin x}{x}$、$\frac{\sinh x}{x}$、$\cosh x$ を含む鋭い不等式における最良の定数の導出。
• 算術平均、幾何平均、対数平均、幾何平均、セイフェルト平均などの二変数平均の理論を通じて、三角関数および双曲線関数の不等式を統一すること。
• 特定の二つの正の数の平均の間の不等式として、いくつかの古典的不等式が再定式化可能であることを示すこと。

提案手法

• 補助関数 $g(x) = \frac{\sin x}{x}$ や $\frac{1 - \cos x}{x}$ の単調性および凸性の性質を用いて境界を導出する。
• 二変数平均（例：$A$、$G$、$L$、$P$、$I$）を用いて三角関数および双曲線関数の不等式を再定式化および改良する。
• 級数展開および関数不等式を用いて鋭い境界を確立する。たとえば $t > 1$ のとき $f(t) < \frac{1}{e}(t + e - 1)$ が成り立つ。
• 置換 $x \to \frac{\pi}{2} - x$ を用いて既知の不等式の双対形を導出する。
• 同次平均および変数の置換を用いて、$x \in (0, \pi/2)$ からの結果をすべての $a, b > 0$ に一般化する。
• 既知の恒等式 $\frac{I}{G} = e^{\frac{A}{L} - 1}$ を用いて異なる平均を結びつけ、新しい不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $x > 0$ に対して $\left(\frac{1}{\cosh x}\right)^p < \frac{\sin x}{x} < \left(\frac{1}{\cosh x}\right)^q$ を満たす最良の定数 $p$ および $q$ は何か？
• RQ2 すべての $x > 0$ に対して $\left(\frac{\sinh x}{x}\right)^{p'} < \frac{2}{\cos x + 1} < \left(\frac{\sinh x}{x}\right)^{q'}$ を満たす最良の定数 $p'$ および $q'$ は何か？
• RQ3 すべての $x > 0$ に対して $\left(\frac{\sinh x}{x}\right)^p < \frac{x}{\sin x} < \left(\frac{\sinh x}{x}\right)^q$ を満たす最良の定数 $p$ および $q$ は何か？
• RQ4 ウィルカー型およびフイーゲンス型不等式は、$\sin x$ と $\sinh x$ の両方を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ5 ジョーダン型およびコーバー型の古典的三角不等式は、二変数平均の理論を用いて再解釈され、改良可能か？

主な発見

• 不等式 $\left(\frac{1}{\cosh x}\right)^p < \frac{\sin x}{x} < \left(\frac{1}{\cosh x}\right)^q$ における最良の定数 $p$ および $q$ が特定され、双曲線関数を含む鋭い境界が確立された。
• 不等式 $\left(\frac{\sinh x}{x}\right)^{p'} < \frac{2}{\cos x + 1} < \left(\frac{\sinh x}{x}\right)^{q'}$ における最良の定数 $p'$ および $q'$ が導出され、三角関数および双曲線関数のためのタイトな不等式が得られた。
• 不等式 $\left(\frac{\sinh x}{x}\right)^p < \frac{x}{\sin x} < \left(\frac{\sinh x}{x}\right)^q$ を満たす最良の定数 $p$ および $q$ が明示的に求められ、$\frac{x}{\sin x}$ の既知の境界が改良された。
• 新しい不等式 $P^2 > A \cdot X$ が確立され、ここで $X = A \cdot e^{G/P - 1}$ である。これはミトリンビッチ＝アダモビッチ不等式の鋭い改良を提供する。
• 不等式 $P^3 > \frac{A^2 L^2}{I} > A^2 G$ が証明され、既知の $P^3 > A^2 G$ よりも改良され、複数の古典的平均を結びつける。
• 本稿では、ウィルカー型およびフイーゲンス型不等式が特定の二変数平均の間の不等式として再定式化可能であることが示され、平均論を通じてそれらの統一的取り扱いがなされた。