[論文レビュー] TRO equivalent algebras

George Eleftherakis|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、三重作用素環（TRO）を用いた、w*-閉作用素代数同士の新しい同値関係「TRO同値性」を導入する。2つの反射的代数がTRO同値であるための必要十分条件は、それらの対角の中心化代数の間に、その不変射影格子を互いに写像する*-同型が存在することである。これは、自己随伴でない設定へのモリタ同値性の一般化である。

ABSTRACT

In this work we study a new equivalence relation between w* closed algebras of operators on Hilbert spaces. The algebras A and B are called TRO equivalent if there exists a ternary ring of operators M (i.e. MM*M\subset M) such that A is the w*-closed span of M*BM and B is the w*-closed span of MAM*. We prove that two reflexive algebras are TRO equivalent if and only if there exists a * isomorphism between the commutants of their diagonals mapping the invariant projection lattice of the first algebra onto the lattice of the second one. We explore some consequences of TRO equivalence for CSL algebras. We also prove that TRO equivalence is stronger than "spatial Morita equivalence". Two CSL algebras are "spatially Morita equivalent" if and only if their lattices are isomorphic. In this case if one of them is synthetic then so is the other.

研究の動機と目的

• w*-閉作用素代数同士の新しい同値関係「TRO同値性」を定義し、その性質を調査すること。
• TROを用いて、自己随伴でない作用素代数へのモリタ同値性の一般化を達成すること。
• 反射的代数におけるTRO同値性を、格子同型と中心化代数の*-同型を用いて特徴づけること。
• 双対作用素代数におけるTRO同値性と安定同型の関係を調査すること。
• CSL代数間の格子同型が、それらが生成するフォン・ノイマン代数の*-同型に拡張されるための条件を検討すること。

提案手法

• 三重作用素環 M を用いて、A = span(M*B M)-w* および B = span(M A M*)-w* と定義することで、TRO同値性を定式化する。
• 正規化子とTROの概念を用いて、代数間の同値双モジュールを構成する。
• 作用素空間理論および双対作用素代数の結果を応用し、TRO同値代数の構造を解析する。
• TRO同値性と対角の中心化代数間の*-同型の対応を確立する。
• CSL代数間の格子同型が、その中心化代数の*-同型に拡張可能であるための必要十分条件が、TRO同値性に他ならないことを証明する。
• 無限大スケーリング技術を用いて、連続的ネストを持つすべてのネスト代数がTRO同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの反射的作用素代数がいつTRO同値となるか？
• RQ2 2つのCSL代数間の格子同型が、それらの中心化代数の*-同型に拡張可能となる条件は何か？
• RQ3 双対作用素代数において、TRO同値性はモリタ同値性および安定同型とどのように関係するか？
• RQ4 分離可能な作用を持つCSL代数間の格子同型は、常にそれらのw*-閉中心化代数の*-同型に拡張可能か？
• RQ5 ネスト代数のクラスにおいて、TRO同値性はどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 2つの反射的代数がTRO同値であるための必要十分条件は、それらの対角の中心化代数の間に、一方の代数の不変射影格子を他方の代数の不変射影格子に写像する*-同型が存在することである。
• TRO同値性はユニタリ同値性を一般化しており、自己随伴の場合にはリエッフェルのモリタ同値性の意味でも成り立つ。
• 分離可能な作用を持つCSL代数について、格子同型が中心化代数の*-同型に拡張可能であるための必要十分条件は、代数がTRO同値であることである。
• 連続的ネストを持つすべてのネスト代数は、無限大スケーリングとそのスケーリングのユニタリ同値性を用いてTRO同値であることが示された。
• CSL代数の空間的モリタ同値性が成立するのは、その格子が同型であり、かつ一方の代数が合成的であるならば他方も合成的であるときである。
• CSL代数間の格子同型が、常にそれらが生成するC*-代数のw*-閉包上の*-同型に拡張されるとは限らず、これはC*-代数の場合とは顕著に異なる点を示している。