[論文レビュー] Tropical Cramer Determinants Revisited

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、多重性、符号、または偏角情報を取り入れた拡張トロピカル半体上の線形系に対してクラメルの定理を拡張する。一般化されたクラメル行列式を用いて、最適割り当て問題を通じて計算可能な多項式時間アルゴリズムを用いて、トロピカル線形系の存在および一意性の定理を証明し、T2およびSmaxにおける行列式計算のグラフ理論的アプローチと割り当て有向グラフにおけるサイクル検出を用いる。

ABSTRACT

We prove general Cramer type theorems for linear systems over various extensions of the tropical semiring, in which tropical numbers are enriched with an information of multiplicity, sign, or argument. We obtain existence or uniqueness results, which extend or refine earlier results of Gondran and Minoux (1978), Plus (1990), Gaubert (1992), Richter-Gebert, Sturmfels and Theobald (2005) and Izhakian and Rowen (2009). Computational issues are also discussed; in particular, some of our proofs lead to Jacobi and Gauss-Seidel type algorithms to solve linear systems in suitably extended tropical semirings.

研究の動機と目的

• 符号、多重性、または偏角情報を取り入れた拡張トロピカル半体上の線形系に対するクラメル型定理の一般化。
• 最適置換の符号非特異性および偶奇性を組み込むことで、トロピカル線形代数における一般化された位置の概念を精緻化する。
• T2 や Smax などの拡張半体におけるトロピカル線形系の解法および行列式計算のための計算アルゴリズムを提供する。
• プアセュール体からの価値写像を通じて、トロピカル線形代数と非アルキメデス幾何学との間の接続を確立する。
• 存在および一意性の定理の証明に基づき、ジャコビおよびガウス・ザイデル型反復アルゴリズムを、拡張半体におけるトロピカル線形系の解法に適応する。

提案手法

• 最適割り当て問題を、値がトロピカルパーマネントに対応する行列式のトロピカル版として用いる。
• ハンガリアン法を用いて最適割り当てを計算し、割り当て問題における最適置換を特定する。
• 行列 A から、弧 (i,j) が aij = ui vj を満たす場合に存在する重み付き有向グラフ G を構築する。ここで、ui, vj はハンガリアン法からの双対変数である。
• G におけるサイクル検出を用いて、最適解の数を特定する：任意のサイクルの存在は複数の最適解を示し、偶数長のサイクルは異なる偶奇性の解を示す。
• Smax（対称化された最大-加法半体）に対しては、行列を正部 A+ ⊖ A− に分解し、ブロック行列式を用いて Rmax への計算に還元する。
• 線形計画法の定式化において報酬関数の上半連続性および凹性を用いて、最大値が頂点で達成されることを保証し、すべてのトロピカルパーマネントが有限である場合にのみ有限値が得られることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたトロピカル半体上での n−1 個のベクトルを含む一意なトロピカル超平面が存在する条件は何か？
• RQ2 トロピカルクラメル行列式は、符号や多重性情報をどのように拡張できるか。また、これにより解の一意性にどのような影響があるか？
• RQ3 T2 や Smax などの拡張トロピカル半体における行列式計算の計算複雑度は何か？
• RQ4 割り当て有向グラフのグラフ理論的性質を用いて、トロピカル割り当て問題における最適解の数をどのように特定できるか？
• RQ5 ジャコビやガウス・ザイデルのような反復法を、拡張半体におけるトロピカル線形系の解法に適応可能か。また、収束性はどのような性質を示すか？

主な発見

• T2 や Smax におけるトロピカルクラメル行列式は、割り当て有向グラフ G におけるサイクル検出を用いて多項式時間で計算可能である。
• 行列 A ∈ Mn(T2) が非ゼロ行列式を持つための必要十分条件は、|A| に対する最適割り当て問題が一意な解を持ち、対角成分がすべて T◦2 に属さないことである。
• A ∈ Mn(Smax) に対して、G に S◦max に属する要素を含むサイクルが存在する、または G に偶数長のサイクルが存在する場合、det A = (per B)◦ である。それ以外の場合は det A = per B である。
• A ∈ Mn(Smax) ですべての対角成分が S◦max に属するとき、det A = (per B)◦ である。これは非自明な符号付き行列式を示している。
• ブロック行列式 det(A+ ⊖ A−) = det([A+ A−; I I]) を用いることで、Smax 上での行列式計算を Rmax の場合に還元でき、多項式時間での計算が可能になる。
• 最適双対変数に関連する有向グラフ G にサイクルが存在する場合、複数の最適置換が存在することを示し、結果としてトロピカル行列式が特異である。