[論文レビュー] Tropical Feynman integration in the Minkowski regime

Michael Borinsky, Henrik J. Munch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Numerical Methods and Algorithms被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、トロピカル幾何学を用いて物理的ミンコフスキー領域における高ループフェイニマン積分を評価するための新しい数値的ツール、feyntrop を紹介する。プロジェクト型のパラメトリック表現を採用しており、因果的 iε 記述を明示的に組み込みつつも、ゲージ不変性と射影不変性を保ったまま、多数のプロパゲーターと運動学的スケールを有する準有限で次元正則化された積分の効率的なモンテカルロ積分を可能にする。

ABSTRACT

We present a new computer program, feyntrop, which uses the tropical geometric approach to evaluate Feynman integrals numerically. In order to apply this approach in the physical regime, we introduce a new parametric representation of Feynman integrals that implements the causal iε prescription concretely while retaining projective invariance. feyntrop can efficiently evaluate dimensionally regulated, quasi-finite Feynman integrals, with not too exceptional kinematics in the physical regime, with a relatively large number of propagators and with arbitrarily many kinematic scales. We give a systematic classification of all relevant kinematic regimes, review the necessary mathematical details of the tropical Monte Carlo approach, give fast algorithms to evaluate (deformed) Feynman integrands, describe the usage of feyntrop and discuss many explicit examples of evaluated Feynman integrals. Program title:feyntrop. CPC Library link to program files:https://doi.org/10.17632/k6r62hdgvd.1 Developer's repository link:https://github.com/michibo/feyntrop. Licensing provisions: MIT License. Programming language: The tropical Monte Carlo code is written in C++. The high-level interface is written in python. Supplementary material: The repository includes installation and usage instructions (README.md), a jupyter notebook tutorial (tutorial_2L_3pt.ipynb), the collection of examples presented in section 6 (see the folder /examples), and a test suite to ensure a successful installation (see the folder /tests). Nature of problem: Sufficiently fast numerical integration of (dimensionally regularized) Feynman integrals (also in the Minkowski regime of phase space). Solution method: Tropical Monte Carlo integration of a manifestly iε-free parametric representation of Feynman integrals. Additional comments: The program feyntrop is based on previous code available at https://github.com/michibo/tropical-feynman-quadrature, which was published as a proof-of-concept with, Michael Borinsky, ‘Tropical Monte Carlo quadrature for Feynman integrals’, Ann. Inst. Henri Poincaré Comb. Phys. Interact. (in press)[1]. This previous code did not have features which are required for phenomenological studies in high-energy physics. In particular, it only allowed for phase space points in the Euclidean regime, and only computed the leading term in the ϵ expansion. Restrictions: The Feynman integral must be quasi-finite and the momentum configuration must be sufficiently generic. Numerators of Feynman integrals are not implemented. Eigen3[2]. The xoshiro256+ pseudo-random-number generator [3]. python[4]. pybind11[5]. sympy[6].

研究の動機と目的

• 標準的なユーリジアン手法が失敗する物理的ミンコフスキー領域におけるフェイニマン積分の評価のための堅牢な数値的手法の開発。
• ゲージおよび射影不変性を保ちつつ、iε 記述を明示的に組み込んだプロジェクト型パラメトリック表現の実装。
• 多数のプロパゲーターと任意の運動学的スケールを有する準有限で次元正則化されたフェイニマン積分の効率的数値積分の実現。
• ユーザーの介入なしに物理的領域におけるコンtour変形を自動化。
• 量子場理論における高ループ次数計算に適したスケーラブルで高性能なツールの提供。

提案手法

• プロジェクト型不変性を保ちつつ、iε 記述を明示的に組み込んだフェイニマン積分の新しいパラメトリック表現を採用。
• 一般化された置換体（generalized permutahedra）によるトロピカル幾何学的サンプリングを用い、効率的なモンテカルロ積分を実現。
• シマンジク多項式 U および F の導関数を含む、（変形された）フェイニマン被積分関数を高速に評価するアルゴリズムを適用。
• シマンジク多項式のノイズン多面体に基づくトロピカルサンプリングを実装し、組合せ幾何学から導かれる面表現を用いる。
• ミンコフスキー符号を扱うために変形パラメータを導入し、例外的な運動学的状況でさえ収束が観察された。
• すべての CPU コアを活用した並列計算を実装し、次元正則化および ǫ-展開との統合をサポート。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果的 iε 記述は、フェイニマン積分のプロジェクト型パラメトリック表現において、どのように明示的に実装可能か？
• RQ2 任意の運動学的スケールを有する物理的ミンコフスキー領域におけるフェイニマン積分に、トロピカルモンテカルロサンプリングを効果的に適用できるか？
• RQ3 多数のプロパゲーターと高ループ・マルチスケール図式において、本手法の性能と収束性はいかがなものか？
• RQ4 標準的なサンプリングが失敗する例外的な運動学的状況における積分は、本手法がどのように処理するか？
• RQ5 高ループ計算においても効率性を維持できるように、被積分関数の導関数を高速に評価するアルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• feyntrop は、最大 5 ループ、多数のプロパゲーターを有する次元正則化された準有限フェイニマン積分を物理的領域で正常に評価できた。
• 任意に多くの運動学的スケールを有する積分を処理でき、例外的な運動学的配置においても数値的安定性を維持したが、収束速度は低下する傾向があった。
• F 多項式の導関数（2階まで）を高速に評価するアルゴリズムが導出され、実装されたため、被積分関数の効率的評価が可能になった。
• 5 ループ 2 点 zigzag 図式や 4 ループ真空図式を含む多様な例において、信頼性の高い収束が達成された。
• 理論的懸念にもかかわらず、例外的な運動学的状況における準有限積分のテストにおいて、障害は観測されなかった。
• 本ツールはオープンソースであり、GitHub で公開されており、一部の例について pySecDec を用いた独立的な結果の検証がなされた。