[論文レビュー] Trudinger-Moser inequality on the whole plane with the exact growth condition

Slim Ibrahim, Nader Masmoudi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非線形関数の成長条件を正確に特定することで、全平面における鋭いTrudinger-Moser不等式を確立し、有界性およびコンパクト性の必要十分条件を提供する。これは、指数関数的およびべき乗型の減衰を用いた非線形性の臨界的成長行動の特徴付けを通じて、従来の結果を統合・精錬したものであり、非線形Schrödinger方程式およびKlein-Gordon方程式における基底状態の存在性およびエネルギーの上限への直接的応用を有する。

ABSTRACT

Trudinger-Moser inequality is a substitute to the (forbidden) critical Sobolev embedding, namely the case where the scaling corresponds to $L^\infty$. It is well known that the original form of the inequality with the sharp exponent (proved by Moser) fails on the whole plane, but a few modified versions are available. We prove a precised version of the latter, giving necessary and sufficient conditions for the boundedness, as well as for the compactness, in terms of the growth and decay of the nonlinear function. It is tightly related to the ground state of the nonlinear Schrodinger equation (or the nonlinear Klein-Gordon equation), for which the range of the time phase (or the mass constant) as well as the energy is given by the best constant of the inequality.

研究の動機と目的

• 全平面におけるTrudinger-Moser型不等式が成立するための正確な成長条件を同定する未解決問題を解決すること。
• 臨界指数 $4\tau$ をノルム強化なしに用いる場合に失敗または最適でない従来の結果を統合・精錬すること。
• $ H^1(\mathbb{R}^2) $ 内の $ e^{4\tau|u|^2} $ を含む非線形関数の有界性およびコンパクト性の必要十分条件を提供すること。
• 不等式の最良定数と非線形Schrödinger方程式およびKlein-Gordon方程式における基底状態の存在性およびエネルギーの上限との関係を結ぶこと。
• 変分的およびスケーリング的議論を用いて、不等式の適用範囲を亜臨界および超臨界非線形性へ拡張すること。

提案手法

• 関数 $ g(u) $ の成長推定を用いて、制約 $ \|\nabla \varphi\|_{L^2}^2 \leq 2\pi K $ の下での関数 $ G(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^2} g(\varphi(x)) \, dx $ の有界性に対する必要十分条件を導出すること。
• 対称減少再配分およびMoser型の議論を用いて、特に $ g(u) = \frac{e^{4\pi|u|^2} - 1}{(1 + |u|)^2} $ の場合の鋭い指数的成長を分析すること。
• ホルダーの不等式およびテイラー展開を用いて、$ |u|^2 $ の $ L^p $ ノルムを制御し、$ L^2 $ と指数的成長の間の補間を可能にすること。
• 極限 $ \varlimsup $ 条件を用いて、$ g(u) $ の原点近傍および無限大における振る舞いを分析する：$ \varlimsup_{|u|\to\infty} e^{-2|u|^2/K} |u|^2 g(u) < \infty $ および $ \varlimsup_{u\to 0} |u|^{-2} g(u) < \infty $。
• 濃縮-コンパクト性の原理を用いてコンパクト性を確立し、コンパクト性の失敗が無限大における成長条件の発散に起因することを関連付けること。
• 非線形Schrödinger方程式に結果を適用し、最良定数 $ C_{f,\kappa_0} $ と $ c \leq c_* $ を満たす基底状態 $ Q_c $ の存在性を関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Borel関数 $ g: \mathbb{R} \to [0,\infty) $ に対して、$ \|\nabla \varphi\|_{L^2}^2 \leq 2\pi K $ の下で関数 $ G(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^2} g(\varphi(x)) \, dx $ が有界であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 $ G(\varphi) $ の最小化列のコンパクト性は、$ H^1(\mathbb{R}^2) $ 内で $ g(u) $ の成長にどのように影響を受けるか？
• RQ3 分母にべき乗項を追加することで、非線形性を変更することにより、$ \mathbb{R}^2 $ 上の古典的Trudinger-Moser不等式を統合・鋭くできるか？
• RQ4 Trudinger-Moser不等式における最良定数と非線形Schrödinger方程式における基底状態の存在性との正確な関係は何か？
• RQ5 $ f $ にどのような条件下で非線形Schrödinger方程式は有限エネルギーを持つ基底状態を有し、それは $ f(u) $ の成長とどのように関連しているか？

主な発見

• $ \|\nabla u\|_{L^2} \leq 1 $ を満たすすべての $ u \in H^1(\mathbb{R}^2) $ に対して不等式 $ \int_{\mathbb{R}^2} \frac{e^{4\pi|u|^2} - 1}{(1 + |u|)^2} \, dx \leq c \|u\|_{L^2}^2 $ が成り立ち、分母の指数 2 を任意の $ p < 2 $ に置き換えると成立しなくなる。
• $ G(\varphi) $ の有界性は、$ \varlimsup_{|u|\to\infty} e^{-2|u|^2/K} |u|^2 g(u) < \infty $ および $ \varlimsup_{u\to 0} |u|^{-2} g(u) < \infty $ という条件と同値であり、これらは両方必要十分条件である。
• 埋め込み $ H^1(\mathbb{R}^2) \to L^g $ のコンパクト性は、$ \varlimsup_{|u|\to\infty} e^{-2|u|^2/K} |u|^2 g(u) = 0 $ が成り立つ場合に限り成り立つ。これは厳密な亜指数的成長を示している。
• 不等式における最良定数 $ C_{f,\kappa_0} $ は、非線形Schrödinger方程式における基底状態 $ Q_c $ が存在する最大質量 $ c_* $ を決定し、$ \varlimsup_{|u|\to\infty} f(u) e^{-\kappa_0 |u|^2} |u|^2 = \infty $ である場合に限り $ c_* = \infty $ となる。
• この不等式は、$ \alpha < 4\pi $ の場合の命題1.2および $ \|u\|_{H^1} \leq 1 $ の場合の命題1.3を両方含み、統一的かつ改善されたものであることが示された。
• 非線形Schrödinger方程式において、基底状態のエネルギーは $ \kappa_0 \|\nabla Q_c\|_{L^2}^2 \leq 4\pi $ を満たし、等号が成り立つのは $ c = c_* $ の場合に限る。