[論文レビュー] Truncation errors and modified equations for the lattice Boltzmann method via the corresponding Finite Difference schemes

Thomas Bellotti|arXiv (Cornell University)|May 5, 2022

Lattice Boltzmann Simulation Studies被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、保存変数上の多段階有限差分スキームに再定式化することにより、格子ボルツマン法に対する厳密な一貫性解析を確立した。これにより、音響的および拡散的スケーリング下で2次までの修正方程式の導出が可能になった。この手法は、離散的レベルで非保存モーメントを正確に除去するため、従来の形式的手法と同一の結果をもたらすが、完全な数学的厳密性を備えている。その結果、収束解析にラクスの同値定理を適用することが可能になった。

ABSTRACT

Lattice Boltzmann schemes are efficient numerical methods to solve a broad range of problems under the form of conservation laws. However, they suffer from a chronic lack of clear theoretical foundations. In particular, the consistency analysis and the derivation of the modified equations are still open issues. This has prevented, until today, to have an analogous of the Lax equivalence theorem for Lattice Boltzmann schemes. We propose a rigorous consistency study and the derivation of the modified equations for any lattice Boltzmann scheme under acoustic and diffusive scalings. This is done by passing from a kinetic (lattice Boltzmann) to a macroscopic (Finite Difference) point of view at a fully discrete level in order to eliminate the non-conserved moments relaxing away from the equilibrium. We rewrite the lattice Boltzmann scheme as a multi-step Finite Difference scheme on the conserved variables, as introduced in our previous contribution. We then perform the usual analyses for Finite Difference by exploiting its precise characterization using matrices of Finite Difference operators. Though we present the derivation of the modified equations until second-order underacoustic scaling, we provide all the elements to extend it to higher orders, since the kinetic-macroscopic connection is conducted at the fully discrete level. Finally, we show that our strategy yields, in a more rigorous setting, the same results as previous works in the literature.

研究の動機と目的

• 格子ボルツマン法に長年の理論的基盤の欠如、特に一貫性と修正方程式の導出に関する理論的基盤の不在を解消すること。
• 運動論的格子ボルツマンスキームとマクロな有限差分スキームとの間のギャップを、完全に離散的変換によって埋めること。
• 既存の形式的手法（例：マクスウェル反復や等価方程式）を正当化する数学的に整合性のあるフレームワークを提供すること。
• 格子ボルツマンスキームが目的とするPDEと一貫していることを確立することで、ラクスの同値定理を適用可能なようにすること。
• 行列に基づく離散作用素の形式的表現を用いて、修正方程式解析を高次および任意の時間・空間スケーリングにまで拡張すること。

提案手法

• 完全に離散的な運動論的からマクロ的変換を用いて、格子ボルツマンスキームを保存モーメント上の多段階有限差分スキームに再定式化する。
• 有限差分作用素の行列表現を用いてスキームを正確に特徴付け、標準的な切り捨て誤差解析を実施する。
• 準平衡仮定や複数時間スケールの仮定に依存せずに、非保存モーメントを離散的レベルで正確に除去する。
• 形式的べき級数および行列関数（行列式と余因子行列）を用いて、格子ボルツマンスキームとその対応する有限差分スキームとの関係を定式化する。
• 格子ボルツマンスキームにマクスウェル反復法を適用し、有限差分形式による修正方程式とその等価性を証明する。
• 記号計算の可能性を活用して、任意の格子ボルツマンスキームの修正方程式の自動導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的または形式的展開に依存せずに、格子ボルツマンスキームの一貫性を厳密に確立できるか？
• RQ2 離散的レベルで完全な数学的正確性を保ちながら、格子ボルツマンスキームの修正方程式をどのように導出できるか？
• RQ3 マクスウェル反復法を格子ボルツマンスキームに適用した場合、有限差分解析と等価な修正方程式が得られるか？
• RQ4 格子ボルツマンスキームが目的とするPDEと一貫していることを確立することで、ラクスの同値定理を適用可能にすることができるか？
• RQ5 格子ボルツマンスキームの修正方程式とその対応する有限差分形式との正確な関係は何か？

主な発見

• 格子ボルツマンスキームが保存変数上の多段階有限差分スキームに厳密に再定式化され、標準的な切り捨て誤差解析および一貫性解析が可能になった。
• 有限差分アプローチによる修正方程式は、マクスウェル反復法によって得られたものと任意の次数で同一であり、後者に対する事後的正当化が得られた。
• 準平衡仮定や複数時間スケールの仮定を避ける代わりに、非保存モーメントを離散的レベルで正確に除去した。
• 一次の修正方程式は、従来の形式的手法と同一であるが、今や完全な数学的厳密性を伴って導出された。
• 本フレームワークにより、高次項および任意の時間・空間スケーリングへの拡張が可能であり、その拡張に必要なすべての要素が本論文で提供された。
• 結果として、マクスウェル反復法や等価方程式法の数値解析的妥当性が裏付けられ、理論的整合性が確立された。