[論文レビュー] Tsirelson's Problem

Volkher B. Scholz, Reinhard F. Werner|ArXiv.org|Dec 22, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、結合ヒルベルト空間上の可換な観測可能から得られる量子相関が、有限次元テンソル積系から得られる相関で近似可能かどうかを検討するツァイレルソンの問題を調査している。本論文は、2つのモデルが同値であるための必要十分条件が、すべての量子相関が有限次元系で近似可能であることにかかっていることを証明し、C*-代数および作用素系理論と結びつける。

ABSTRACT

The situation of two independent observers conducting measurements on a joint quantum system is usually modelled using a Hilbert space of tensor product form, each factor associated to one observer. Correspondingly, the operators describing the observables are then acting non-trivially only on one of the tensor factors. However, the same situation can also be modelled by just using one joint Hilbert space, and requiring that all operators associated to different observers commute, i.e. are jointly measurable without causing disturbance. The problem of Tsirelson is now to decide the question whether all quantum correlation functions between two independent observers derived from commuting observables can also be expressed using observables defined on a Hilbert space of tensor product form. Tsirelson showed already that the distinction is irrelevant in the case that the ambient Hilbert space is of finite dimension. We show here that the problem is equivalent to the question whether all quantum correlation functions can be approximated by correlation function derived from finite-dimensional systems. We also discuss some physical examples which fulfill this requirement.

研究の動機と目的

• 可換な観測可能から得られる量子相関がテンソル積ヒルベルト空間によって表現可能かどうかという基礎的問題を解明すること。
• すべての量子相関が有限次元量子系によって近似可能かどうかを特定すること。
• ツァイレルソンの問題と、核的C*-代数や擬有限なフォン・ノイマン代数といった作用素代数の既知の概念との関連を確立すること。
• 作用素系と完全正値マップを用いた量子相関の分析フレームワークを提供すること。
• 核的性や擬有限性といった構造的性質によって、可換モデルとテンソル積モデルの同値性が成立する物理系を同定すること。

提案手法

• 2つの量子相関モデルを形式化する：1つは結合ヒルベルト空間上の可換な観測可能に基づくもの、もう1つはテンソル積構造に基づくもの。
• 観測可能代数の代数的テンソル積上での作用素空間ノルムとして、相関ノルム‖·‖_pmax と ‖·‖_pmin を定義する。
• 弱作用素位相収束と完全正値ユニタル写像による有限次元近似の概念を用いる。
• 有限次元では弱収束とノルム収束が一致することを応用し、相関関数の有限次元近似を構成する。
• 作用素空間理論の定理を活用して、pmaxノルム条件を満たす任意の相関関数が、テンソル積系によって近似可能であることを示す。
• 核的C*-代数および擬有限なフォン・ノイマン代数の構造を活用し、同値性が成立する物理系を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合ヒルベルト空間上の可換観測可能から得られるすべての量子相関関数が、有限次元テンソル積系からの相関で近似可能か？
• RQ2 観測可能代数にどのような条件下で、可換観測可能とテンソル積観測可能が同値な相関関数をもたらすか？
• RQ3 有限次元近似を用いて、可換モデルとテンソル積モデルの同値性を確立できるか？
• RQ4 核的C*-代数と擬有限なフォン・ノイマン代数は、ツァイレルソンの問題の解決にどのような役割を果たすか？
• RQ5 ツァイレルソンの問題は、量子相関の有限次元近似可能性に関する問いと同値か？

主な発見

• ツァイレルソンの問題は、すべての量子相関が有限次元量子系からの相関で近似可能かどうかという問いと同値である。
• 本論文は、相関関数がpmaxノルム条件を満たす場合、それがテンソル積系によって近似可能であるための必要十分条件が、有限次元系による近似可能性であることを証明した。
• 基礎となる作用素代数が核的または擬有限であれば、相関関数の有限次元近似が存在する。
• 核的C*-代数および擬有限なフォン・ノイマン代数は、可換観測可能とテンソル積観測可能が同値な相関関数をもたらすことを保証する。
• フェルミオン系、2キュービットもつれスピン鎖、一様に擬有限なスピン系といった物理系では、この同値性が成立する。
• この結果は、量子情報理論と作用素代数理論の間に深い接点を確立し、ツァイレルソンの問題における未解決の問いがC*-代数的技法によって解決可能である可能性を示唆している。