[論文レビュー] TSSOS: a Julia library to exploit sparsity for large-scale polynomial optimization

Victor Magron, Jie Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Numerical Methods and Algorithms参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

TSSOSは、モーメント-SOS階層における相関スパarsityと項スパarsityを活用することで、数万変数の問題を効率的に解くことを可能にするJuliaライブラリである。この手法により、最適性ギャップが1%未満の6,698変数までのAC-OPFインスタンスについて、グローバル最適性の証明が可能となる。

ABSTRACT

The Julia library TSSOS aims at helping polynomial optimizers to solve large-scale problems with sparse input data. The underlying algorithmic framework is based on exploiting correlative and term sparsity to obtain a new moment-SOS hierarchy involving potentially much smaller positive semidefinite matrices. TSSOS can be applied to numerous problems ranging from power networks to eigenvalue and trace optimization of noncommutative polynomials, involving up to tens of thousands of variables and constraints.

研究の動機と目的

• 大規模多項式最適化における標準的なモーメント-SOS階層の計算不能性を、構造的スパarsityの活用によって克服すること。
• 変数数の増加に伴い生じる大規模な半定値計画（SDP）緩和問題のボトルネックを解消すること。
• 相関スパarsityと項スパarsityの両方を統合したスケーラブルなフレームワークを構築し、SDP緩和問題のサイズを低減すること。
• 実世界の問題、特に最適潮流（AC-OPF）のような数万変数の問題において、グローバル最適性の証明を可能にすること。
• 拡張可能なライブラリアーキテクチャを用いて、可換および非可換多項式最適化を両方サポートすること。

提案手法

• 多項式最適化問題（POPs）を、半定値緩和を伴う標準的なモーメント-SOS階層として定式化する。
• 相関スパarsityを適用するため、csp（相関スパarsityパターン）グラフを構築し、弦的拡張を計算して変数の依存関係を分解する。
• 項スパarsityを導入し、多項式のサポートを分析することで、モーメント行列および局所化行列のサイズをさらに縮小する。
• 相関スパarsityと項スパarsityを組み合わせ、より小さいブロック対角SDP緩和問題を備えたスパースなモーメント-SOS階層を構築する。
• 効率的なモデリングのため、スパースな多項式表現（サポートと係数配列）を用いてJuliaでフレームワークを実装する。
• 非可換多項式最適化へはNCTSSOSサブモジュールを介して拡張し、固有値およびトレースの最小化をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 項スパarsityを相関スパarsityと効果的に組み合わせることで、多項式最適化におけるSDP緩和問題のサイズを低減できるか？
• RQ2 TSSOSフレームワークは、数万変数の大きな多項式最適化問題（POPs）に対して、どの程度スケーラビリティを向上させられるか？
• RQ3 TSSOSは、高次元インスタンスを伴う実世界の産業問題（例：AC-OPF）において、グローバル最適性を証明できるか？
• RQ4 TSSOSの性能は、密行列または標準的なスパースなモーメント-SOSアプローチと比較して、メモリ使用量および実行時間の点で優れているか？
• RQ5 このフレームワークは、固有値最小化のような非可換多項式最適化問題へ、効率的に拡張可能か？

主な発見

• TSSOSは、PGLiBライブラリの13のAC-OPFテストケースすべてについて、最適性ギャップを1%未満にまで低減し、グローバル最適性を証明した。
• 最大のテストインスタンスである3022_goc_sadは6,698変数、29,283制約を含み、ギャップは0.47%、実行時間は1,340秒であった。
• 非可換なBroyden帯状関数に対しては、TSSOSは600変数まで効率的にスケーリング可能であり、密行列アプローチはメモリ制限により失敗した。
• TSSOSのスパースアプローチは、14のAC-OPFテストケースすべてでグローバル最適性を証明した。特に1951_rte_api（4,634変数）では0.32%のギャップを達成した。
• サポートと係数配列の使用により、迅速なモデリングが可能となり、密行列表現を回避することで、大幅な効率向上が達成された。
• NCTSSOSモジュールにより、非可換な設定下でも固有値およびトレースの最適化が効率的に行えるようになり、600変数までスケーラブルな性能を示した。