[論文レビュー] Tuning HMC using Poisson brackets

M. A. Clark, A.D. Kennedy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2008

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ハイブリッドモンテカルロ（HMC）積分子の調整のための優れた戦略として、|ΔH|そのものを最小化するのではなく、真のハミルトニアンとシャロウハミルトニアンの差ΔHの分散を最小化することを提案する。ΔHを運動エネルギー項とポテンシャルエネルギー項のポアソン括弧の級数として表現し、それらの平衡平均を測定することで、1回のシミュレーションで最適な積分子パラメータ（例えばステップサイズやSTSTSスキームの係数）が特定可能となり、格子場理論におけるHMCの効率が顕著に向上する。

ABSTRACT

We discuss how the integrators used for the Hybrid Monte Carlo (HMC) algorithm not only approximately conserve some Hamiltonian $H$ but exactly conserve a nearby shadow Hamiltonian ( ilde H), and how the difference $ΔH \equiv ilde H - H $ may be expressed as an expansion in Poisson brackets. By measuring average values of these Poisson brackets over the equilibrium distribution $\propto e^{-H}$ generated by HMC we can find the optimal integrator parameters from a single simulation. We show that a good way of doing this in practice is to minimize the variance of $ΔH$ rather than its magnitude, as has been previously suggested. Some details of how to compute Poisson brackets for gauge and fermion fields, and for nested and force gradient integrators are also presented.

研究の動機と目的

• 格子場理論におけるハイブリッドモンテカルロ（HMC）シミュレーションの効率を、積分子パラメータの最適化によって向上させること。
• 動的フェルミオンを含むシミュレーションにおける高い受容率と低自己相関を達成するためのHMC積分子のチューニングの課題に対処すること。
• 唯一1回のシミュレーションランでのみデータを用いて最適な積分子パラメータを特定する実用的手法を開発すること。
• ΔHの分散を最小化することが、|ΔH|を最小化することよりも積分子チューニングに有効であることを示すこと。
• ゲージ理論および動的フェルミオンを含む系におけるポアソン括弧の計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 真のハミルトニアンとシャロウハミルトニアンの差ΔH = H̃ - H を、運動エネルギー項とポテンシャルエネルギー項のポアソン括弧の級数展開として表現する。
• 対称的シンプレクティック積分子（STSやSTSTSなど）のためのシャロウハミルトニアンH̃を、バーカー＝キャンベル＝ハウスドルフ（BCH）公式を用いて導出する。
• 1つの平衡化済みHMC軌道上で、ポアソン括弧項⟨{S,{S,T}}⟩および⟨{T,{S,T}}⟩の平衡平均を測定し、積分子の性能を予測する。
• 平衡分布exp(−H)におけるΔHの分散を最小化することで、積分子パラメータ（例：STSTSにおけるα）を最適化する。
• ネストド積分子およびフォースグラデント積分子にこの手法を適用し、格子ゲージ理論における数値結果で妥当性を検証する。
• 1つのパrameter設定でのポアソン括弧の測定結果を用いて、パラメータ空間全域におけるΔHおよびその分散の挙動を予測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平衡分布上でのΔHの分散を最小化することが、|ΔH|を最小化することよりも優れたHMC積分子チューニングに寄与するか？
• RQ2 ゲージ系およびフェルミオン系において、ポアソン括弧を効率的に計算・測定することで、積分子最適化を可能にする方法は何か？
• RQ3 1回のシミュレーションランでのポアソン括弧平均の測定のみで、どの程度まで積分子パラメータを最適化できるか？
• RQ4 ΔHの分散最小化によってチューニングされた場合、フォースグラデント積分子は標準的な2次オーダーのオメリアン積分子と比較して、どの程度優れたスケーリング特性を示すか？
• RQ5 提案手法は、格子場理論におけるネストド積分子およびマルチスケールシミュレーションへ一般化可能か？

主な発見

• ΔHの分散を最小化することで、|ΔH|を最小化する手法よりも優れたHMC性能が得られ、ΔHの変動がその平均値よりも著しく小さくなる。
• ΔHの分散を最小化することで得られたSTSTS積分子の最適なα値はα ≈ 0.1826であり、これは|δH|の平均⟨|δH|⟩や1−min(1,e−δH)の平均⟨1−min(1,e−δH)⟩といった他の性能指標の最小値とよく一致する。
• 測定されたΔH分散の最小値の位置と、予測された位置が良好に一致しており、1つのα設定でのポアソン括弧測定が最適パラメータの予測に有効であることが検証された。
• 分散最小化戦略でチューニングされたフォースグラデント積分子は、2次オーダーのオメリアン積分子と比較して、優れたスケーリング特性を示す。
• 本手法により、1回の平衡化済みHMCランでのみのデータを用いて、ステップサイズ、オーダー、擬似フェルミオン場の数といった積分子パラメータのオフライン最適化が可能になる。
• ゲージ場およびフェルミオン場のポアソン括弧は体系的に計算可能であり、ΔHの表現に用いることで、現実の格子QCDシミュレーションにおける実用的チューニングが可能になる。