[論文レビュー] Turaev-Viro invariants as an extended TQFT

Alexander Kirillov, Benjamin Balsam|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 77

ひとこと要約

この論文は、codimension 2 のコーナーを持つ3次元多様体へのTuraev-Viro不変量の拡張を試み、1つの円にDrinfeld中心 $ Z(\mathcal{C}) $ を割り当て、n個の穴あき球面に対しては、$ Z(\mathcal{C}) $ を基にしたReshetikhin-Turaev TQFTと一致する完全拡張3-2-1 TQFTを構成する。球面的ファイブレーションカテゴリ $ \mathcal{C} $ に対するTuraev-Viro不変量が、そのDrinfeld中心に基づくReshetikhin-Turaev TQFTと一致するという長年の予想に対する部分的証明を提供する。

ABSTRACT

In this paper we show how one can extend Turaev-Viro invariants, defined for an arbitrary spherical fusion category $C$, to 3-manifolds with corners. We demonstrate that this gives an extended TQFT which conjecturally coincides with the Reshetikhin-Turaev TQFT corresponding to the Drinfeld center $Z(C)$. In the present paper we give a partial proof of this statement.

研究の動機と目的

• codimension 2 のコーナーを持つ3次元多様体へのTuraev-Viro不変量の拡張を実現し、完全拡張TQFT構造を可能にする。
• 拡張理論が1次元球面にDrinfeld中心 $ Z(\mathcal{C}) $ を割り当てることが、拡張TQFTの公理と整合することを示す。
• n個の穴あき球面に対して、拡張Turaev-Viro理論が割り当てるベクトル空間が、$ Z(\mathcal{C}) $ を基にしたReshetikhin-Turaev理論と一致することを示す。
• 任意の球面的ファイブレーションカテゴリ $ \mathcal{C} $ に対して、$ Z_{TV,\mathcal{C}}(M) = Z_{RT,Z(\mathcal{C})}(M) $ であるという予想に対する部分的証明を提供する。

提案手法

• フレームドリンクを伴う三角形分割された3次元多様体上の状態和モデルを用いて、Turaev-Viro不変量から3-2-1の完全拡張TQFTを構成する。
• 状態和振幅を記述するため、循環的不変関手 $ \langle V_1, \dots, V_n \rangle = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, V_1 \otimes \cdots \otimes V_n) $ を定義する。
• ピボタル構造と自然同型を用いて、テンソル因子の循環的置換に対して不変性を保証する。
• モジュラー不変性と整合性を保つために、正規化係数 $ \mathcal{D} = \sqrt{\sum_{x \in \operatorname{Irr}(\mathcal{C})} d_X^2} $ を導入する。
• $ \mathcal{C} $ 内の評価およびコエバaluationsマップを用いて、合成写像 $ \varphi \otimes \psi \mapsto \varphi \underset{X}{\circ} \psi $ を確立する。
• 拡張理論が $ S^1 $ に対してDrinfeld中心 $ Z(\mathcal{C}) $ を得ることを証明し、境界ラベルが $ Z(\mathcal{C}) $ に属することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Turaev-Viro不変量の構成は、codimension 2 のコーナーを持つ3次元多様体へ拡張可能であり、完全拡張3-2-1 TQFTを形成するか？
• RQ2 拡張Turaev-Viro TQFTは、Drinfeld中心 $ Z(\mathcal{C}) $ を基にしたReshetikhin-Turaev TQFTと同型か？
• RQ3 拡張TQFTは、拡張TQFTの公理が要求するように、1次元球面に $ Z(\mathcal{C}) $ を割り当てるか？
• RQ4 n個の穴あき球面に対して、拡張Turaev-Viro理論とReshetikhin-Turaev理論が割り当てるベクトル空間は一致するか？

主な発見

• 拡張Turaev-Viro TQFTは1次元球面にDrinfeld中心 $ Z(\mathcal{C}) $ を割り当てており、拡張TQFTの期待と整合することが確認された。
• n個の穴あき球面に対して、拡張Turaev-Viro理論が割り当てるベクトル空間は、$ Z(\mathcal{C}) $ を基にしたReshetikhin-Turaev理論と正確に一致する。
• 拡張理論は、フレームドリンクを伴う三角形分割された3次元多様体上の状態和モデルを用いて構成され、循環的不変量と $ \mathcal{D} $ を用いた正規化が行われている。
• 合成写像 $ \varphi \underset{X}{\circ} \psi $ は適切に定義されており、カテゴリ $ \mathcal{C} $ の構造を尊重しており、不変性を保証する。
• この構成は、$ Z_{TV,\mathcal{C}}(M) = Z_{RT,Z(\mathcal{C})}(M) $ であるという予想に対する部分的証明を提供するが、完全な証明は後続の研究で期待される。
• 正規化係数 $ \mathcal{D} $ は、Etingof–Nikshych–Ostrikの結果により0でないことが保証されており、理論が適切に定義されていることを示している。