[論文レビュー] Turbulence Modeling via the Fractional Laplacian

Brenden P. Epps, Benoı̂t Cushman-Roisin|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 29被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、ボルツマン運動論およびレヴィα安定分布を用いて、第一原理から分数ラプラシアンを導出し、ナビエ＝ストークス方程式における標準的な粘性項を、長距離における運動量輸送を捉える非局所的分数ラプラシアンに置き換えることで乱流モデルを構築する。モデルはα=1のとき壁面の対数則を回復し、従来の渦粘性係数モデルに対する物理的に根拠のある代替手法を提供する。

ABSTRACT

Herein, we derive the fractional Laplacian operator as a means to represent the mean friction force arising in a turbulent flow: $ ρ\frac{D\bar{\bf u}}{Dt} = - abla p + μ_α abla^2\bar{\bf u} + ρC_α\iiint_{\!-\infty}^\infty \frac{ \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x}')} - \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})} }{|{\bf x}'-{\bf x}|^{α+3}} \,d{\bf x}' $, where $\bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})}$ is the ensemble-averaged velocity field, $μ_α$ is an enhanced molecular viscosity, and $C_α$ is a turbulent mixing coefficient (with units (length)$^α$/(time)). The derivation is grounded in Boltzmann kinetic theory, which presumes an equilibrium probability distribution $f_α^{eq}(t,{\bf x},{\bf u})$ of particle speeds. While historically $f_α^{eq}$ has been assumed to be the Maxwell-Boltzmann distribution, we show that any member of the family of Lévy $α$-stable distributions is a suitable alternative. If $α=2$, then $f^{eq}_α$ is the Maxwell-Boltzmann distribution, with large particle speeds very unlikely, and the Navier-Stokes equations are recovered (with $μ_α= μ$ and $C_α= 0$). If $0 < α< 2$, then $f^{eq}_α$ is a Lévy $α$-stable distribution, with "heavy tails" that permit large velocity fluctuations, as in turbulence. For shear turbulent flows, the choice of $α= 1$ (Cauchy distribution for $f_α^{eq}$) leads to the logarithmic velocity profile known as the Law of the Wall. We also present examples of 1D Couette flow and 2D boundary layer flow, and we discuss turbulent transport within this kinetic theory framework. This work lays out a new framework for turbulence modeling that may lead to new fundamental understanding of turbulent flows.

研究の動機と目的

• 第一原理に基づく非局所的乱流モデルを構築し、恣意的な閉じ込めを回避すること。
• ナビエ＝ストークス方程式における粘性項を、運動論から導出された分数ラプラシアンに置き換えること。
• レヴィα安定分布が、重い尾を持つ乱流速度ゆらぎを自然に記述することを示すこと。
• α=1のとき、対数速度プロファイル（壁面則）が得られることを示すこと。
• 非局所的・長距離相互作用を用いた乱流輸送の枠組みを確立すること。

提案手法

• Knudsen数が小さい、非圧縮性、等温流れの仮定の下で、ボルツマン運動論方程式から分数ラプラシアン作用素を導出する。
• 粒子速度の平衡確率分布としてレヴィα安定分布を用い、α∈(0,2)により重い尾を持つゆらぎを可能にする。
• 分数ラプラシアンの特異積分形を適用：$\mathcal{L}_{n}u(\mathbf{x}) = L_{\alpha,n} \text{P.V.} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\bar{u}(\mathbf{x}') - \bar{u}(\mathbf{x})}{|\mathbf{x}' - \mathbf{x}|^{\alpha+n}} d\mathbf{x}'$。
• 正規化定数 $L_{\alpha,n} = \frac{2^\alpha \Gamma((\alpha+n)/2)}{\pi^{n/2} |\Gamma(-\alpha/2)|}$ を導出し、レヴィ分布の尾の挙動と関連付ける。
• 1次元コウエット流れおよび2次元境界層流れにモデルを適用し、既知の乱流プロファイルと整合することを示す。
• 空間的次元が少ない変数に依存する変数を統合することで、分数ラプラシアンが低次元部分空間に簡略化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数ラプラシアンは、乱流摩擦の表現として運動論から導出可能か？
• RQ2 平衡粒子速度にレヴィα安定分布を用いることで、一貫性のある乱流モデルが得られるか？
• RQ3 本モデルは、せん断流れにおける対数速度プロファイル（壁面則）を再現可能か？
• RQ4 分数ラプラシアンの非局所的性質は、局所的渦粘性係数モデルに比べ、乱流運動量輸送をいかに的確に捉えられるか？
• RQ5 多スケール流れにおいて次元を低減する際、分数ラプラシアンの数学的・物理的整合性はいかなるものか？

主な発見

• レヴィα安定分布を粒子速度の平衡分布として仮定した場合、分数ラプラシアンはボルツマン運動論理論から自然に導出される。
• α=2のとき、モデルは標準的粘性を有する古典的ナビエ＝ストークス方程式に還元され、乱流係数はゼロとなる。
• α=1のとき、壁に近いせん断流れにおいて対数速度プロファイルが再現され、これは壁面則に対応する。
• 分数ラプラシアンは、長距離相互作用を通じて非局所的運動量輸送を捉え、異常拡散およびレヴィウォークと整合する。
• 分数ラプラシアンにおける正規化定数 $L_{\alpha,n}$ は、レヴィα安定分布の尾パラメータと一致し、一貫性が保証される。
• 速度場が空間的次元をより少ない数に依存する場合（例：コウエット流れ）、分数ラプラシアンの次元整合性のある簡略化が可能である。