[論文レビュー] Turning Gate Synthesis Errors into Incoherent Errors

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、複数の近似ユニタリの平均化によって、量子ゲート合成における整合的誤差を非整合的誤差に変換する手法を提案する。これにより、必要なゲート誤差は $\epsilon \lesssim 1/N$ から $\epsilon \lesssim 1/\sqrt{N}$ に低下し、フォールトトレランス量子計算の効率が向上する。このアプローチは、ゲート選択またはアタシリア状態におけるランダム化を活用して、誤差の蓄積を抑制する。

ABSTRACT

Using error correcting codes and fault tolerant techniques, it is possible, at least in theory, to produce logical qubits with significantly lower error rates than the underlying physical qubits. Suppose, however, that the gates that act on these logical qubits are only approximation of the desired gate. This can arise, for example, in synthesizing a single qubit unitary from a set of Clifford and $T$ gates; for a generic such unitary, any finite sequence of gates only approximates the desired target. In this case, errors in the gate can add coherently so that, roughly, the error $ε$ in the unitary of each gate must scale as $ε\lesssim 1/N$, where $N$ is the number of gates. If, however, one has the option of synthesizing one of several unitaries near the desired target, and if an average of these options is closer to the target, we give some elementary bounds showing cases in which the errors can be made to add incoherently by averaging over random choices, so that, roughly, one needs $ε\lesssim 1/\sqrt{N}$. We remark on one particular application to distilling magic states where this effect happens automatically in the usual circuits.

研究の動機と目的

• 量子ゲート合成における整合的誤差蓄積の問題に対処すること。特に、$T$ ゲートおよびクリフォードゲートにおける微小なユニタリ誤差が回路深さに比例して線形に蓄積される点に焦点を当てる。
• 複数の近似ユニタリの平均化を活用して、個々のゲートの正確性要件を低減し、非整合的誤差スケーリングを達成すること。
• ゲート実装またはアタシリア状態におけるランダム化が、システム的誤差を抑制し、全体の回路忠実度を向上させることを示すこと。
• ランダム化されたゲート合成におけるダイアモンドノルム誤差の理論的境界を提示し、整合的誤差蓄積と比較して改善されたスケーリングを示すこと。
• マジック状態の精錬およびゲート合成における実用的適用性を示すこと。ここで、測定結果から自然にランダム性が生じる。

提案手法

• 目標ゲート $U_i$ に近い複数の候補 $W_{i,j}$ から近似ユニタリ $V_i$ をランダムに選択し、システム的誤差を平均化する。
• トレースノルムおよびダイアモンドノルム解析を用いて、ゲート不完全性による最終量子状態の誤差を評価する。
• ランダム化されたアタシリア状態を用いた状態注入を表す量子チャネル $\mathcal{G}$ を導入し、理想の $T$-ゲートチャネル $\mathcal{E}$ からのずれが角度誤差の2次に比例することを示す。
• 偏差の境界 $\|\mathcal{E} - \mathcal{G}\|_\diamond \lesssim \mu_2 + \mathcal{O}(\mu_4)$ を導出する。ここで $\mu_2$ は $\pi/8$ からの角度ずれの分散を表し、誤差が2次スケーリングに従うことを示す。
• 異なるランダム選択のゲートまたはアタシリアを用いてアルゴリズムを繰り返し、残存誤差をさらに抑制する。
• 状態注入プロトコルにおけるランダム測定結果の影響を分析し、異なるゲート角度への平均化が自然に生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の近似ユニタリへの平均化によって、量子ゲート合成における整合的誤差蓄積を軽減できるか？
• RQ2 $N$ 個のゲートのシーケンスにおいて、誤差が整合的・非整合的に加算される場合、必要なゲート誤差精度のスケーリングはそれぞれどのように異なるか？
• RQ3 ゲート実装またはアタシリア状態におけるランダム化が、量子回路全体のダイアモンドノルム誤差に与える影響は何か？
• RQ4 マジック状態の精錬などの設定では、測定のランダム性から自然にゲート誤差が平均化されるか？
• RQ5 ゲート角度またはアタシリア状態の微小なずれがある状況下でも、2次誤差スケーリングを厳密に境界づけられるか？

主な発見

• ゲート合成における整合的誤差蓄積では、総誤差を小さく保つために、ゲート誤差が $\epsilon \lesssim 1/N$ のスケーリングに従う必要がある。
• ランダムな近似ユニタリの選択による平均化により、誤差スケーリングが $\epsilon \lesssim 1/\sqrt{N}$ に改善され、より低いゲート忠実度要件が可能になる。
• 最終回路のダイアモンドノルム誤差は $S \mu_2 + S \cdot \mathcal{O}(\mu_4)$ で抑えられ、ここで $\mu_2$ は $\pi/8$ からの角度ずれの分散を表す。これにより、誤差に2次依存性があることが示される。
• 状態注入プロトコルでは、ランダムな測定結果が自然に異なるゲート角度への平均化を生じさせ、システム的誤差を非整合的誤差に変換する。
• 実際のチャネル $\mathcal{G}$ と理想の $T$-ゲートチャネル $\mathcal{E}$ のずれは、$\theta - \pi/4$ および $\tau - \pi/4$ の2次に比例し、非整合的スケーリングが確認される。
• 独立したランダム選択のゲートまたはアタシリアを用いてアルゴリズムを繰り返すことで、1回の平均化のみでは達成できない残存誤差の抑制が可能になる。