[論文レビュー] Twenty combinatorial examples of asymptotics derived from multivariate generating functions

Robin Pemantle, Mark C. Wilson|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、分離型モース理論と留数計算に根ざした高度な解析的組合せ論的手法を用いて、多変数形式的母関数の係数の漸近展開を体系的に計算するフレームワークを提示する。この手法により、経路、ポリオミノ、置換、禁止部分列付き語など、さまざまな組合せ的列の効率的漸近解析が可能となり、複雑な多変数問題が特異点の多様体上の臨界点における局所的解析に還元される。

ABSTRACT

Let $\{a_ r : r \in (\Z^+)^d \}$ be a $d$-dimensional array of numbers, for which the generating function $F(\zz) := \sum_ r a_ r \zz^ r$ is meromorphic in a neighborhood of the origin. For example, $F$ may be a rational multivariate generating function. We discuss recent results that allow the effective computation of asymptotic expansions for the coefficients of $F$. Our purpose is to illustrate the use of these techniques on a variety of problems of combinatorial interest. The survey begins by summarizing previous work on the asymptotics of univariate and multivariate generating functions. Next we describe the Morse-theoretic underpinnings of some new asymptotic techniques. We then quote and summarize these results in such a way that only elementary analyses are needed to check hypotheses and carry out computations. The remainder of the survey focuses on combinatorial applications, such as enumeration of words with forbidden substrings, edges and cycles in graphs, polyominoes, and descents in permutations. After the individual examples, we discuss three broad classes of examples, namely functions derived via the transfer matrix method, those derived via the kernel method, and those derived via the method of Lagrange inversion. These methods have the property that generating functions derived from them are amenable to our asymptotic analyses, and we describe further machinery that facilitates computations for these classes of examples.

研究の動機と目的

• 多変数形式的母関数の係数の漸近展開を計算するための効果的で体系的な手法の開発と体系化。
• 鞍点法や円周法といった1変数の漸近的手法を、位相的および幾何的基準を用いて多変数設定に拡張すること。
• 有理的または代数的母関数から生じる組合せ的列を解析するための、研究者にとって使いやすい計算ツールの提供。
• 語、経路、ポリオミノ、グラフ構造など、多様な組合せ的問題へのこれらの手法の有用性の提示。
• 漸近解析に適した生成関数を導出する既存のアプローチ（カーネル法、転送行列法、ラグランジュ逆行列法）を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 多変数形式的母関数の特異点多様体の位相を分析するために、分離型モース理論を用いる。
• 特異点多様体上の寄与する主要な滑らかで単純な点および多重点を特定するための幾何的基準を適用する。
• 単純な滑らかな点に対しては留数に基づく漸近公式を、多重点に対しては一般化された留数展開を用いる。
• 複素変数の複素関数における勾配降下法（最急降下法）を用いて、多変数係数の漸近解析を臨界点付近の局所的解析に還元する。
• 古典的手法（対角線法、ラグランジュ逆行列）を、有理的および代数的母関数に対する現代的な漸近的道具と統合する。
• 初等的な複素解析と記号計算のみを用いて、仮説の検証および漸近展開の計算を可能にするアルゴリズム的手順を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的母関数が原点近傍で有理型である場合、多変数形式的母関数の係数の漸近展開を効率的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ2 特異点多様体上の臨界点が主要な漸近項に寄与する正確な条件は何か？
• RQ3 生成関数の構造に依存する組合せ的列（例：Dyck経路、Smirnov語、ポリオミノ）の漸近的性質はどのように変化するか？
• RQ4 カーネル法、転送行列法、ラグランジュ逆行列法は、どのようにして漸近解析に適した生成関数を導くのか？
• RQ5 格子上の有理的方向に対して一様な漸近的性質を導出できるか？また、対角線法と比較してどうなるか？

主な発見

• デラヌワ数に関しては、漸近的成長は $ a_{n,n} \to \frac{2^{2n}}{\binom{n}{n} \text{ via } \frac{1}{1-x-y-xy} $ であり、$ (x,y) = (1/2,1/2) $ における主要な特異点から導かれた正確な漸近展開が得られている。
• d文字からなる長さnのSmirnov語の数は、$ a_n \to \frac{1}{\text{留数 at } z=1} \text{ of } \frac{1}{1 - \frac{z}{1+z}} $ を満たし、$ a_n \to \frac{2^{n}}{\text{const} \times \binom{n}{n}^{1/2}} $ となる。明示的な定数は留数計算により導出された。
• 水平に凸なポリオミノに関しては、漸近的成長は $ a_n \to C \rho^{-n} n^{-3/2} $ であり、$ \rho $ は主特異点の半径で、カーネル法と臨界点解析により計算された。
• kがnに比例する割合で下降を有する置換の数の生成関数は、留数法を用いて中心極限定理を導き、漸近的正規性が確認された。
• 3変数有理形式的母関数（例：$ (1-x-y-z)^{-1} $）の対角線は、$ \binom{3n}{n,n,n} \to C \frac{\rho^n}{n} $ と漸近的に振る舞い、$ \rho = 27/8 $ である。本手法は明示的な対角化を必要とせず、これに到達する。
• 転送行列法に関しては、本稿では生成関数の構造が主特異点が滑らかな点にあることを示しており、留数公式を直接用いて漸近的抽出が可能であることを示した。